somokai.

Kedjeregeln: derivera sammansatta funktioner

Kedjeregeln används när en funktion står inuti en annan. Vi deriverar den yttre funktionen, låter den inre stå kvar och multiplicerar med den inre funktionens derivata. Till exempel har (3x + 1)⁴ derivatan 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³.

Matte 4 · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Yttre och inre funktion

I y = (3x + 1)⁴ räknar vi i två steg. Först 3x + 1, det är den inre funktionen. Sedan upphöjer vi resultatet till 4, det är den yttre funktionen.

y = (3x + 1)⁴: inre u = 3x + 1, yttre y = u⁴

FunktionInre funktion uYttre funktion
(3x + 1)⁴3x + 1u⁴
e²ˣ2xeᵘ
(x² + 1)³x² + 1u³
sin 5x5xsin u

Fråga dig: vad räknar jag ut först när jag sätter in ett tal? Det är den inre funktionen.

Yttre derivatan gånger inre derivatan

Vi vill derivera en funktion som står inuti en annan.

y′ = yttre derivatan · inre derivatan

  • Derivera den yttre funktionen. Låt den inre stå kvar orörd.
  • Derivera den inre funktionen för sig.
  • Multiplicera de två derivatorna.

I formelsamlingen står samma sak med f som yttre och g som inre funktion:

y = f(g(x)) ger y′ = f′(g(x)) · g′(x)

Varför gånger inre derivatan?

Vi provar på y = (3x + 1)², som också går att derivera den långa vägen. Kedjeregeln ger 2(3x + 1) · 3 = 6(3x + 1) = 18x + 6.

(3x + 1)² = 9x² + 6x + 1 har derivatan 18x + 6

Samma svar. Utan den inre derivatan hade vi fått 2(3x + 1) = 6x + 2, en tredjedel av det rätta.

När x ökar med ett steg ökar 3x + 1 med tre steg. Det inre ändras tre gånger så snabbt som x, och därför blir hela derivatan tre gånger så stor.

Exempel

Exempel 1: derivera y = (3x + 1)⁴

Vi vill ta fram y′. Parentesen är den inre funktionen.

  1. Inre funktion: u = 3x + 1. Yttre funktion: u⁴.

    y = u⁴ med u = 3x + 1

  2. Yttre derivatan: u⁴ blir 4u³. Parentesen står kvar orörd.

    4(3x + 1)³

  3. Inre derivatan: 3x blir 3 och konstanten 1 blir 0.

    (3x + 1)′ = 3

  4. Vi multiplicerar yttre och inre derivatan. 4 · 3 = 12.

    y′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Formeln ger y′(0) = 12. Med två närliggande punkter: y(0) = 1 och y(0,001) ≈ 1,012054. Lutningen 0,012054 / 0,001 ≈ 12,05 ligger nära 12.

Exempel 2: derivera y = e²ˣ

Exponenten 2x är den inre funktionen. Vi vill ta fram y′.

  1. Inre funktion: u = 2x. Yttre funktion: eᵘ.

    y = eᵘ med u = 2x

  2. Yttre derivatan: eᵘ har derivatan eᵘ. Exponenten står kvar orörd.

    e²ˣ

  3. Inre derivatan: 2x har derivatan 2.

    (2x)′ = 2

  4. Vi multiplicerar och skriver talet först.

    y′ = e²ˣ · 2 = 2e²ˣ

e²ˣ = (e²)ˣ är en exponentialfunktion aˣ med a = e². Regeln (aˣ)′ = aˣ · ln a ger e²ˣ · ln e² = 2e²ˣ. Samma svar.

Exempel 3: derivera y = (x² + 1)³

Här är den inre derivatan inte ett tal utan 2x. Vi vill ta fram y′.

  1. Inre funktion: u = x² + 1. Yttre funktion: u³.

    y = u³ med u = x² + 1

  2. Yttre derivatan: u³ blir 3u². Parentesen står kvar orörd.

    3(x² + 1)²

  3. Inre derivatan: x² blir 2x och konstanten 1 blir 0.

    (x² + 1)′ = 2x

  4. Vi multiplicerar yttre och inre derivatan. 3 · 2x = 6x.

    y′ = 3(x² + 1)² · 2x = 6x(x² + 1)²

  5. För kontrollen multiplicerar vi ut svaret: (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.

    y′ = 6x⁵ + 12x³ + 6x

Långa vägen: (x² + 1)³ = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1. Term för term blir derivatan 6x⁵ + 12x³ + 6x. Samma svar.

Fallgropar

  • Att glömma den inre derivatan, så att (3x + 1)⁴ får derivatan 4(3x + 1)³.

    Multiplicera med den inre derivatan 3. Svaret är 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³.

  • Att derivera den inre funktionen inne i parentesen, så att (x² + 1)³ blir 3(2x)².

    Den inre funktionen står kvar orörd i den yttre derivatan: 3(x² + 1)². Den inre derivatan 2x blir en egen faktor.

  • Att tappa minustecknet när den inre funktionen är 5 − 2x.

    Den inre derivatan är −2. (5 − 2x)³ har derivatan 3(5 − 2x)² · (−2) = −6(5 − 2x)².

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Derivera y = (2x + 5)³.

  2. Derivera y = e⁵ˣ.

  3. y = (x² − 3)⁴. Beräkna y′ när x = 2.

  4. Derivera y = (4 − x)⁴.

Vanliga frågor

Hur vet man vilken funktion som är den inre?

Den inre funktionen är det vi räknar ut först när vi sätter in ett tal. I (3x + 1)⁴ räknar vi 3x + 1 först. Sedan upphöjer vi till 4.

Varför har eᵏˣ derivatan k · eᵏˣ?

Det är kedjeregeln. Den inre funktionen kx har derivatan k, och den yttre eᵘ har derivatan eᵘ. Tillsammans blir det eᵏˣ · k.

När behöver man inte kedjeregeln?

När den inre funktionen är x självt. Då är den inre derivatan 1 och ändrar ingenting: x⁴ har derivatan 4x³ · 1 = 4x³.

Fungerar kedjeregeln på sin och cos?

Ja. sin 5x har den inre funktionen 5x och den yttre sin u. Den yttre derivatan är cos u och den inre 5, så derivatan är 5 cos 5x. Vinkeln mäts då i radianer.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig