Exponentialfunktioner y = C · aˣ

Q: Hur räknar man ut halveringstiden?

Vi löser aˣ = 0,5 med logaritmer. Med a = 0,87 blir x = lg 0,5 / lg 0,87 ≈ 4,98, alltså ungefär 5 timmar.

Q: Kan en exponentialfunktion bli noll eller negativ?

Inte när C och a är positiva. aˣ är alltid större än noll.

Q: Hur hittar man förändringsfaktorn om man vet två värden?

Dela det nya värdet med det gamla. Från 500 till 605 på 2 år: 605 / 500 = 1,21 och a = √1,21 = 1,1.

En exponentialfunktion skrivs y = C · aˣ. C är startvärdet, värdet när x = 0. a är förändringsfaktorn, som vi multiplicerar med varje steg. Ökar något med 5 % är a = 1,05. Minskar det med 20 % är a = 0,80.

Matte 1–3 · Uppdaterad 3 november 2026

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Vad betyder C och a?

y = C · aˣ

x är antalet steg, till exempel år. När x = 0 är a⁰ = 1, så y = C.

x (timmar)	Exponentiell: 200 · 2ˣ	Linjär: 200 + 200x
0	200	200
1	400	400
2	800	600
3	1600	800

Linjärt läggs lika mycket till varje steg. Exponentiellt multipliceras med lika mycket, så ökningen blir allt större.

Från procent till a

Ökar något med 5 % blir det 105 %, alltså a = 1,05. Minskar det med 20 % finns 80 % kvar, alltså a = 0,80.

Förändring per steg	Kvar eller nytt	a
ökar 5 %	105 %	1,05
ökar 30 %	130 %	1,30
minskar 3 %	97 %	0,97
minskar 20 %	80 %	0,80
fördubblas	200 %	2
halveras	50 %	0,5

Tillväxt, avtagande och halveringstid

a > 1: funktionen växer, allt snabbare.
0 < a < 1: funktionen avtar och närmar sig noll utan att nå dit.
Halveringstiden är tiden det tar för mängden att bli hälften så stor.

Exempel

Exempel 1: 1200 kr med 5 % ränta i 3 år

Vi vill veta hur mycket som finns på kontot efter 3 år.

C = 1200, a = 1,05 och x = 3.
y = 1200 · 1,05³
Ett år i taget. Efter ett år:
1200 · 1,05 = 1260
Efter två år multiplicerar vi med 1,05 igen.
1260 · 1,05 = 1323
Efter tre år:
1323 · 1,05 = 1389,15

Med formeln: 1,05³ = 1,157625 och 1200 · 1,157625 = 1389,15. Samma svar, så det finns 1389,15 kr.

Exempel 2: halveringstid 6 timmar

80 mg läkemedel halveras var 6:e timme. Vi vill veta hur mycket som finns efter 18 timmar.

Antalet halveringar är 18 delat med 6.
$\frac{18}{6} = 3$
Vi halverar tre gånger.
80 → 40 → 20 → 10
Med formeln blir det samma sak.
y = 80 · 0,5³ = 10 mg

Vi dubblar tillbaka tre gånger: 10 → 20 → 40 → 80. Det stämmer.

Fallgropar

Att använda 0,15 som förändringsfaktor när något minskar med 15 %.
a är det som finns kvar: 100 % − 15 % = 85 %, så a = 0,85.
Att räkna 5 % i 3 år som 15 %, så att 1200 kr blir 1380 kr.
Räntan räknas på det nya beloppet varje år: 1200 · 1,05³ = 1389,15 kr.

Öva själv

0 av 4 rätt

Funktionen y = 500 · 2ˣ beskriver en population. Beräkna y när x = 3.
Ditt svar på uppgift 1
En stad har 20 000 invånare och växer med 10 % per år. Hur många invånare finns efter 3 år?
Ditt svar på uppgift 2
En dator kostar 12 000 kr och tappar 25 % av sitt värde varje år. Vad är den värd efter 2 år?
Ditt svar på uppgift 3
Ett radioaktivt ämne har halveringstiden 8 dygn. Från början finns 240 g. Hur mycket finns kvar efter 24 dygn?
Ditt svar på uppgift 4

Fler genomgångar med Fox

Vanliga frågor

Hur räknar man ut halveringstiden?

Vi löser aˣ = 0,5 med logaritmer. Med a = 0,87 blir x = lg 0,5 / lg 0,87 ≈ 4,98, alltså ungefär 5 timmar.

Kan en exponentialfunktion bli noll eller negativ?