Logaritmer och lg
lg x är exponenten som 10 ska upphöjas till för att bli x: lg 1000 = 3, eftersom 10³ = 1000. Därför ger 10ˣ = 500 lösningen x = lg 500 ≈ 2,70. Med annan bas tar vi lg av båda sidor.
Se Fox räkna på tavlan
Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.
Vad betyder lg?
lg 100 frågar: 10 upphöjt till vad är 100?
lg 100 = 2 eftersom 10² = 100
| Potens av 10 | Värde | Logaritm |
|---|---|---|
| 10⁻¹ | 0,1 | lg 0,1 = −1 |
| 10⁰ | 1 | lg 1 = 0 |
| 10¹ | 10 | lg 10 = 1 |
| 10² | 100 | lg 100 = 2 |
| 10³ | 1000 | lg 1000 = 3 |
500 ligger mellan 100 och 1000, så lg 500 ≈ 2,699 ligger mellan 2 och 3. På räknaren heter knappen log.
Logaritmlagarna
Logaritmer är exponenter, så de följer potenslagarna. 10² · 10³ = 10⁵, alltså lg 100 + lg 1000 = 2 + 3 = 5.
| Lag | Med ord | Exempel |
|---|---|---|
| lg(a · b) = lg a + lg b | en produkt blir en summa | lg(100 · 1000) = 2 + 3 = 5 |
| lg(a / b) = lg a − lg b | en kvot blir en skillnad | lg(1000 / 10) = 3 − 1 = 2 |
| lg(aᵖ) = p · lg a | exponenten kommer ner som faktor | lg(2³) = 3 · lg 2 ≈ 0,903 |
Den tredje lagen flyttar ner x från exponenten. Då kan vi dela bort det som står bredvid x.
Lös ekvationer med lg
Vi vill få x ensamt. x sitter i exponenten.
- Få potensen ensam på ena sidan.
- Ta lg av båda sidor. Lika tal har lika logaritmer.
- Använd lg(aˣ) = x · lg a för att få ner x.
- Dela båda sidor med logaritmen bredvid x.
Exempel
Exempel 1: 10ˣ = 500
Vi vill få x ensamt. Basen är 10, så lg ger svaret direkt.
Vilken exponent ska 10 ha för att bli 500? Det är lg 500.
x = lg 500
Räknaren ger ett svar mellan 2 och 3.
x ≈ 2,699
Avrundat till två decimaler:
x ≈ 2,70
10 upphöjt till 2,699 är ungefär 500. Det stämmer.
Exempel 2: 3 · 2ˣ = 48
Vi vill få x ensamt. Först ska 2ˣ stå ensam, sedan tar vi ner x med lg.
Vi delar båda sidor med 3. 48 ÷ 3 = 16.
2ˣ = 16
Vi tar lg av båda sidor.
lg(2ˣ) = lg 16
Lagen lg(aᵖ) = p · lg a flyttar ner x.
x · lg 2 = lg 16
Vi delar båda sidor med lg 2.
x = lg 16 / lg 2 = 4
Vi sätter in x = 4: 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48. Det stämmer.
Fallgropar
Att tro att 3 · 2ˣ är samma sak som 6ˣ.
Potensen räknas först, så 3 · 2ˣ är 3 gånger 2ˣ. Dela bort trean innan vi tar lg.
Att förkorta lg 16 / lg 2 till lg 8.
lg 16 / lg 2 = 4, men lg 8 ≈ 0,903. Logaritmer får inte förkortas.
Öva själv
0 av 4 rätt1Beräkna lg 10 000 utan räknare.
2Lös ekvationen 10ˣ = 40. Svara med två decimaler.
3Lös ekvationen 2 · 3ˣ = 54.
4Lös ekvationen 200 · 1,05ˣ = 300. Svara med en decimal.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan lg och ln?
lg frågar efter exponenten till 10. ln frågar efter exponenten till talet e ≈ 2,718. Lagarna är desamma.
Varför kan man inte ta lg av noll eller ett negativt tal?
10 upphöjt till vilket tal som helst är positivt. Ingen exponent ger 0 eller −5, så det finns ingen logaritm.
Får man ta lg av båda sidor i en ekvation?
Ja, när båda sidorna är positiva. Lika tal har lika logaritmer, så likheten gäller fortfarande.
Läs också
- Matte 1–3Exponentialfunktioner y = C · aˣVad är en exponentialfunktion och vad betyder C och a?
- Åk 7–9 och gymnasietPotenser och potenslagarHur räknar man med potenser?
- Åk 8–9 och gymnasietFörändringsfaktorVad är förändringsfaktor och hur räknar man med den?
- Åk 8–9 och gymnasietRänta och ränta på räntaHur räknar man ut ränta och ränta på ränta?
Har du hittat ett fel? Hör av dig