somokai.

Primitiva funktioner: derivera baklänges

En primitiv funktion till f är en funktion F vars derivata är f, alltså F′(x) = f(x). Vi hittar den genom att derivera baklänges: xⁿ ger xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. Till exempel har 3x² de primitiva funktionerna x³ + C.

Matte 3 · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Derivera baklänges

När vi deriverar x³ får vi 3x². En primitiv funktion går åt andra hållet: vilken funktion har derivatan 3x²? Ett svar är x³, eftersom (x³)′ = 3x².

F är en primitiv funktion till f när F′(x) = f(x)

Stora F är den primitiva funktionen och lilla f är funktionen vi började med. Varje svar går att kontrollera: derivera F och se att du får tillbaka f.

Regeln för xⁿ

Vi vill hitta F så att derivatan av F blir f.

När vi deriverar kommer exponenten ner som faktor och minskar sedan med ett. Baklänges gör vi tvärtom: vi ökar exponenten med ett och delar med den nya exponenten.

f(x) = xⁿ ger F(x) = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C

Varför delar vi? Derivatan av x⁴ är 4x³, fyra gånger för mycket om vi ville ha x³. Därför delar vi med 4: derivatan av x⁴/4 är 4x³/4 = x³.

f(x)F(x)Kontroll: F′(x)
55x + C(5x)′ = 5
xx²/2 + C2x/2 = x
x²x³/3 + C3x²/3 = x²
x³x⁴/4 + C4x³/4 = x³
6x²2x³ + C2 · 3x² = 6x²
eˣeˣ + C(eˣ)′ = eˣ
e²ˣe²ˣ/2 + C2e²ˣ/2 = e²ˣ

En summa tar vi en term i taget, och ett tal framför följer med.

Konstanten C

En konstant försvinner när vi deriverar. x³, x³ + 7 och x³ − 2 har alla derivatan 3x². Därför finns det oändligt många primitiva funktioner till 3x², och vi skriver dem tillsammans som x³ + C.

Graferna har samma form men ligger olika högt. Ett villkor, till exempel F(1) = 4, pekar ut en av dem. Vi sätter in x = 1 och löser ut C.

Exempel

Exempel 1: primitiva funktioner till f(x) = 6x² + 4x − 5

Vi vill hitta alla F med F′(x) = f(x). Vi tar en term i taget.

  1. 6x²: exponenten ökar till 3 och vi delar med 3. 6/3 = 2.

    6x² ger 6x³/3 = 2x³

  2. 4x: exponenten ökar från 1 till 2 och vi delar med 2. 4/2 = 2.

    4x ger 4x²/2 = 2x²

  3. Konstanten −5 kommer från −5x, eftersom (−5x)′ = −5.

    −5 ger −5x

  4. Vi lägger ihop termerna och lägger till konstanten C.

    F(x) = 2x³ + 2x² − 5x + C

Vi deriverar: (2x³)′ = 6x², (2x²)′ = 4x, (−5x)′ = −5 och (C)′ = 0. Summan är 6x² + 4x − 5 = f(x).

Exempel 2: f(x) = 4x + 1, bestäm F så att F(1) = 4

Vi vill hitta den enda primitiva funktion vars graf går genom punkten (1, 4).

  1. Först alla primitiva funktioner: 4x ger 2x² och 1 ger x.

    F(x) = 2x² + x + C

  2. Villkoret säger att F är 4 när x är 1. Vi sätter in x = 1.

    F(1) = 2 · 1² + 1 + C = 3 + C

  3. Det ska vara lika med 4.

    3 + C = 4

  4. Vi vill få C ensamt. Vi subtraherar 3 på båda sidor, så att likheten består.

    3 + C − 3 = 4 − 3

  5. Till vänster blir 3 − 3 noll. Kvar står C.

    C = 1

  6. Nu vet vi vilken av de primitiva funktionerna det är.

    F(x) = 2x² + x + 1

F′(x) = 4x + 1 = f(x), och F(1) = 2 + 1 + 1 = 4. Båda kraven stämmer.

Exempel 3: primitiva funktioner till f(x) = x³ + 2x²

Här går divisionerna inte jämnt ut. Vi vill se hur svaret skrivs då.

  1. x³: exponenten ökar till 4 och vi delar med 4.

    x³ ger x⁴/4

  2. 2x²: exponenten ökar till 3 och vi delar med 3. Tvåan står kvar i täljaren.

    2x² ger 2x³/3

  3. Bråken får stå kvar. Vi lägger till C.

    F(x) = x⁴/4 + 2x³/3 + C

Vi deriverar: (x⁴/4)′ = 4x³/4 = x³ och (2x³/3)′ = 2 · 3x²/3 = 2x². Summan är x³ + 2x² = f(x).

Fallgropar

  • Att glömma C och svara x³ när uppgiften frågar efter alla primitiva funktioner till 3x².

    x³ + 7 har också derivatan 3x². Skriv x³ + C, så är alla med.

  • Att derivera i stället för att gå baklänges, så att 6x² blir 12x.

    Exponenten ska öka, inte minska: 6x² ger 6x³/3 = 2x³. Kontroll: (2x³)′ = 6x².

  • Att öka exponenten men glömma att dela, så att x² blir x³.

    (x³)′ = 3x², tre gånger för mycket. Dela med den nya exponenten: (x³/3)′ = 3x²/3 = x².

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Bestäm alla primitiva funktioner till f(x) = 6x.

  2. Bestäm alla primitiva funktioner till f(x) = 9x² − 2x + 7. Skriv termen med högst exponent först och C sist.

  3. Är F(x) = x⁴ − 3x en primitiv funktion till f(x) = 4x³ − 3x? Svara ja eller nej.

  4. F är en primitiv funktion till f(x) = 6x − 2, och F(2) = 5. Bestäm F(x).

Vanliga frågor

Varför ska man skriva + C?

En konstant har derivatan 0. Därför har x², x² + 1 och x² − 8 alla derivatan 2x. Med + C får vi med varenda primitiv funktion i ett enda svar.

Fungerar regeln för alla exponenter?

Ja, också när exponenten är negativ eller ett bråk, utom för n = −1. Då skulle vi dela med noll. Funktionen 1/x har den primitiva funktionen ln x + C när x > 0, eftersom (ln x)′ = 1/x.

Hur vet jag att min primitiva funktion är rätt?

Derivera den. Får du tillbaka funktionen du började med är svaret rätt. Den kontrollen fungerar för varje primitiv funktion.

Vad använder man primitiva funktioner till?

Till att räkna ut integraler, alltså arean under en kurva, med F(b) − F(a). De leder också från hastighet till sträcka, eftersom sträckans derivata är hastigheten.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig