somokai.

Integraler: arean under en kurva

En integral från a till b räknar vi ut som F(b) − F(a), där F är en primitiv funktion till f. Över x-axeln är värdet arean mellan kurvan och x-axeln. Integralen från 0 till 3 av 2x dx är 3² − 0² = 9.

Matte 3 · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Integralen är en area

När kurvan y = f(x) ligger över x-axeln är integralen av f från a till b arean mellan kurvan och x-axeln, från x = a till x = b. Talen a och b kallas gränser.

I boken står gränserna vid integraltecknet ∫, den nedre nere och den övre uppe. Här skriver vi dem med ord: integralen från 0 till 3 av 2x dx. Tecknet dx visar att x är variabeln.

Räkna med F(b) − F(a)

Vi vill räkna ut integralen från a till b av f(x) dx.

  • Ta fram en primitiv funktion F, alltså en funktion med F′(x) = f(x).
  • Sätt in den övre gränsen: räkna ut F(b).
  • Sätt in den nedre gränsen: räkna ut F(a).
  • Subtrahera med den övre gränsen först: F(b) − F(a).

Integralen från a till b av f(x) dx = F(b) − F(a)

Konstanten C behövs inte här. Den finns i både F(b) och F(a) och försvinner när vi subtraherar: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

Mellanledet skrivs ofta med hakparentes: [x²] från 0 till 3 betyder 3² − 0².

Under x-axeln blir det minus

Där kurvan ligger under x-axeln är f(x) negativt, och den delen räknas med minustecken. Integralen kan därför bli negativ eller noll, fast en area aldrig är negativ.

För linjen y = x − 2 är integralen från 0 till 4 lika med 0, fast arean mellan linjen och x-axeln är 4. Delen under axeln ger −2 och delen över ger 2.

Söker vi arean delar vi därför vid nollstället och räknar varje del som ett positivt tal. Exempel 3 visar hur.

Exempel

Exempel 1: integralen från 0 till 3 av 2x dx

Vi vill räkna ut arean under linjen y = 2x från x = 0 till x = 3.

  1. En primitiv funktion till 2x är x², eftersom (x²)′ = 2x.

    F(x) = x²

  2. Vi sätter in den övre gränsen 3.

    F(3) = 3² = 9

  3. Vi sätter in den nedre gränsen 0.

    F(0) = 0² = 0

  4. Vi subtraherar, med den övre gränsen först.

    F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9

Under linjen ligger en triangel med basen 3 och höjden 2 · 3 = 6. Arean är 3 · 6 / 2 = 9. Samma svar.

Exempel 2: integralen från 1 till 2 av 3x² dx

Vi vill ha arean under kurvan y = 3x² från x = 1 till x = 2. Kurvan är böjd.

  1. En primitiv funktion till 3x² är x³, eftersom (x³)′ = 3x².

    F(x) = x³

  2. Övre gränsen: 2 · 2 · 2 = 8.

    F(2) = 2³ = 8

  3. Undre gränsen: här blir det inte noll.

    F(1) = 1³ = 1

  4. Vi subtraherar, med den övre gränsen först.

    F(2) − F(1) = 8 − 1 = 7

Bredden är 1. Höjden mitt i är f(1,5) = 6,75 och medelvärdet av ändarnas höjder är (3 + 12) / 2 = 7,5. Arean 7 ligger däremellan.

Exempel 3: arean mellan y = x − 2 och x-axeln från 0 till 4

Linjen korsar x-axeln där x = 2. Vi vill ha arean, så vi räknar delarna var för sig.

  1. En primitiv funktion till x − 2 är x²/2 − 2x. Derivatan är 2x/2 − 2 = x − 2.

    F(x) = x²/2 − 2x

  2. Vi räknar ut F i gränserna 0, 2 och 4.

    F(0) = 0, F(2) = 2 − 4 = −2, F(4) = 8 − 8 = 0

  3. Från 0 till 2 ligger linjen under x-axeln. Integralen blir negativ.

    F(2) − F(0) = −2 − 0 = −2

  4. Från 2 till 4 ligger linjen över x-axeln. Att subtrahera −2 är att addera 2.

    F(4) − F(2) = 0 − (−2) = 2

  5. Arean är summan av delarna, räknade som positiva tal.

    2 + 2 = 4

Båda delarna är trianglar med basen 2 och höjden 2. Varje area är 2 · 2 / 2 = 2, tillsammans 4. Det stämmer.

Fallgropar

  • Att subtrahera åt fel håll, F(a) − F(b), och få fel tecken.

    Övre gränsen först: F(b) − F(a). Från 1 till 2 av 3x² dx blir 8 − 1 = 7, inte 1 − 8.

  • Att sätta in gränserna i f i stället för i den primitiva funktionen F.

    Ta fram F först. För 2x från 0 till 3 räknar vi 3² − 0² = 9, inte 2 · 3 − 2 · 0 = 6.

  • Att svara med integralens värde när uppgiften frågar efter arean och kurvan går under x-axeln.

    Dela vid nollstället och räkna varje del positiv. För y = x − 2 från 0 till 4 är integralen 0 men arean 4.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Beräkna integralen från 1 till 5 av 4 dx.

  2. Beräkna integralen från 0 till 3 av (2x + 1) dx.

  3. Beräkna integralen från −1 till 2 av 3x² dx.

  4. Beräkna arean mellan linjen y = 2x − 4 och x-axeln från x = 0 till x = 3.

Vanliga frågor

Vad betyder dx i en integral?

dx talar om att x är variabeln. Det kommer från smala staplar under kurvan: varje stapel har höjden f(x) och bredden dx, och integralen lägger ihop dem från a till b.

Kan en integral bli negativ?

Ja. Ligger kurvan under x-axeln blir integralen negativ. Integralen från 0 till 2 av (x − 2) dx är −2. Arean är ändå 2.

Vad är skillnaden mellan en integral och en primitiv funktion?

En primitiv funktion är en funktion, till exempel x² + C. En integral med gränser är ett tal, till exempel 9. Vi använder den primitiva funktionen för att räkna ut talet.

Vad händer om man byter plats på gränserna?

Integralen byter tecken. Från 0 till 3 av 2x dx är 3² − 0² = 9. Från 3 till 0 blir det 0² − 3² = −9.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig