Formelsamling Matte 3: 3b och 3c
Vår formelsamling för Matte 3 innehåller derivatans definition, deriveringsreglerna, primitiva funktioner och integraler. Matte 3b har också geometrisk summa, och Matte 3c sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen. Exempel: f(x) = x³ har derivatan f′(x) = 3x² och de primitiva funktionerna F(x) = x⁴/4 + C.
Se Fox räkna på tavlan
Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.
Lös din egen uppgift
Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.
Derivata och deriveringsregler
På nationella provet får du Skolverkets eget formelblad, och den här sidan är vår egen sammanfattning att öva med.
| Vad | Formel | När du använder den |
|---|---|---|
| Ändringskvot | (f(b) − f(a)) / (b − a) | Genomsnittlig förändring mellan två punkter, sekantens lutning |
| Derivatans definition | f′(a) = lim (h → 0) (f(a + h) − f(a)) / h | Lutningen i en punkt, tangentens lutning |
| Potensfunktion | f(x) = xⁿ ger f′(x) = n · xⁿ⁻¹ | Polynom, term för term. En konstant ger 0 |
| Konstant faktor | f(x) = k · xⁿ ger f′(x) = k · n · xⁿ⁻¹ | Talet framför följer med: 4x³ ger 12x² |
| Exponentialfunktion med basen e | f(x) = eᵏˣ ger f′(x) = k · eᵏˣ | Tillväxt och avtagande skrivna med e |
| Exponentialfunktion med basen a | f(x) = aˣ ger f′(x) = aˣ · ln a | Till exempel 2ˣ eller 1,05ˣ |
| Naturlig logaritm | eˣ = y ger x = ln y | Lösa ekvationer där x står i exponenten till e |
| Tangent | y = kx + m med k = f′(a) | Tangenten går genom punkten (a, f(a)) |
| Extrempunkt | f′(x) = 0 | f″(x) > 0 ger en minimipunkt och f″(x) < 0 en maximipunkt |
f′(x) är derivatan av f och f″(x) är andraderivatan. e ≈ 2,718 är basen för den naturliga logaritmen ln. Före derivering skriver vi 1/x som x⁻¹ och 1/x² som x⁻².
Primitiva funktioner och integraler
| Vad | Formel | När du använder den |
|---|---|---|
| Primitiv funktion till xⁿ | F(x) = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C | Gäller när n inte är −1 |
| Primitiv funktion till en konstant k | F(x) = kx + C | Till exempel har 5 de primitiva funktionerna 5x + C |
| Primitiv funktion till eᵏˣ | F(x) = eᵏˣ/k + C | Gäller när k inte är 0 |
| Integral | ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) | Arean under kurvan från a till b när f(x) ≥ 0 |
F är en primitiv funktion till f, alltså är F′(x) = f(x). C är en konstant. I integralen är a den nedre gränsen och b den övre gränsen.
Trianglar i 3c, summor i 3b
| Vad | Formel | När du använder den |
|---|---|---|
| Sinussatsen (3c) | sin A / a = sin B / b = sin C / c | En sida och dess motstående vinkel är kända, plus en sida eller vinkel till |
| Cosinussatsen (3c) | c² = a² + b² − 2ab · cos C | Två sidor och vinkeln mellan dem, eller alla tre sidorna |
| Areasatsen (3c) | T = a · b · sin C / 2 | Triangelns area från två sidor och vinkeln mellan dem |
| Enhetscirkeln (3c) | sin(180° − v) = sin v och cos(180° − v) = −cos v | Trubbiga vinklar. Punkten på cirkeln är (cos v, sin v) |
| Absolutbelopp (3c) | |a| = a om a ≥ 0 och |a| = −a om a < 0 | Avståndet till noll på tallinjen |
| Geometrisk summa (3b) | sₙ = a(kⁿ − 1)/(k − 1) | Summan av n termer där varje term är k gånger den förra. Gäller när k inte är 1 |
I triangeln står vinkeln A mitt emot sidan a, B mitt emot b och C mitt emot c. I den geometriska summan är a första termen, k kvoten och n antalet termer.
Exempel
Exempel 1: lutningen för f(x) = 2x³ − 5x² + 4 där x = 2
Vi vill veta hur brant grafen är i punkten där x = 2.
Lutningen i en punkt är derivatans värde. Funktionen är ett polynom, så vi deriverar term för term.
xⁿ ger n · xⁿ⁻¹
2x³ ger 2 · 3x² = 6x². −5x² ger −5 · 2x = −10x. Konstanten 4 ger 0.
f′(x) = 6x² − 10x
Vi sätter in x = 2.
f′(2) = 6 · 2² − 10 · 2 = 24 − 20
Lutningen är 4.
f′(2) = 4
Ändringskvoten nära punkten: f(2) = 0 och f(2,001) ≈ 0,004007. Kvoten 0,004007 / 0,001 ≈ 4,007, nära 4.
Exempel 2: beräkna ∫₁³ (3x² + 2) dx
Vi vill veta arean under kurvan y = 3x² + 2 från x = 1 till x = 3.
En integral räknas med en primitiv funktion. 3x² har x³ och 2 har 2x.
F(x) = x³ + 2x
Vi väljer formeln för integralen, med övre gränsen först.
∫₁³ f(x) dx = F(3) − F(1)
F(3) = 27 + 6 = 33 och F(1) = 1 + 2 = 3.
F(3) − F(1) = 33 − 3
Integralen är 30.
∫₁³ (3x² + 2) dx = 30
Vi deriverar F: x³ + 2x ger 3x² + 2. Rimligt: kurvan går från 5 till 29 och bredden är 2, så arean ligger mellan 10 och 58.
Exempel 3 (Matte 3c): tredje sidan i en triangel
Två sidor är 5 cm och 8 cm, och vinkeln mellan dem är 60°. Vi söker sidan c.
Två sidor och vinkeln mellan dem är kända. Då väljer vi cosinussatsen.
c² = a² + b² − 2ab · cos C
Vi sätter in a = 5, b = 8 och C = 60°.
c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60°
5² + 8² = 25 + 64 = 89. cos 60° = 0,5, så 2 · 5 · 8 · 0,5 = 40.
c² = 89 − 40 = 49
Vi söker sidan, så vi drar roten.
c = √49 = 7
Den tredje sidan är 7 cm.
Baklänges: (25 + 64 − 49) / 80 = 40 / 80 = 0,5, och cos 60° = 0,5. Det stämmer.
Fallgropar
Att låta exponenten stå kvar: x³ deriveras till 3x³.
Exponenten kommer ner som faktor och minskar med ett: x³ ger 3x². En konstant, som +4, ger 0.
Att derivera när uppgiften ber om en primitiv funktion: x² ger 2x.
En primitiv funktion går åt andra hållet: x² ger x³/3 + C. Derivera svaret som kontroll, då ska du få tillbaka x².
Att räkna F(a) − F(b), eller tappa parentesen runt F(a).
Övre gränsen först: F(b) − F(a). Sätt parentes runt F(a) när den har flera termer, så att minustecknet gäller alla.
Öva själv
0 av 4 rätt1Derivera f(x) = 4x³ − 6x + 2.
2f(x) = x² − 4x. Beräkna f′(3).
3Beräkna integralen ∫₀² 6x² dx.
4Matte 3b: beräkna den geometriska summan 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 med formeln.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan formlerna i Matte 3b och 3c?
Derivata, primitiva funktioner och integraler är gemensamma. Matte 3b har dessutom geometrisk summa och linjär optimering. Matte 3c har i stället absolutbelopp, enhetscirkeln, sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen.
Vad är skillnaden mellan derivata och primitiv funktion?
Derivatan f′(x) visar hur snabbt f ändras. En primitiv funktion F går åt andra hållet: F har f som derivata. x² har derivatan 2x och de primitiva funktionerna x³/3 + C.
Varför står det + C i en primitiv funktion?
En konstant har derivatan 0. Därför har x³/3, x³/3 + 5 och x³/3 − 2 samma derivata, x². C står för alla sådana konstanter. I en integral med gränser tar de ut varandra.
Är det här Skolverkets formelblad för Matte 3?
Nej. Det här är Somokais egen sammanfattning att öva med. Skolverkets formelblad finns på Skolverkets webbplats, och läraren delar ut det vid provet.
Läs också
- Matte 2Formelsamling Matte 2: 2a, 2b och 2cVilka formler ingår i Matte 2a, 2b och 2c?
- Matte 4Formelsamling Matte 4Vilka formler ingår i Matte 4?
- Matte 3Derivata och deriveringsreglerVad är derivata och hur deriverar man?
- Matte 1–3Exponentialfunktioner y = C · aˣVad är en exponentialfunktion och vad betyder C och a?
- Matte 2–3Logaritmer och lgVad betyder lg och hur löser man ekvationer med logaritmer?
Källor: Nationellt prov i matematik – fortsättning nivå 1
Har du hittat ett fel? Hör av dig