Formelsamling Matte 4

Vår formelsamling för Matte 4 innehåller trigonometriska ettan sin² v + cos² v = 1, additionsformlerna, kedjeregeln, produktregeln, kvotregeln, derivatorna av sin x, cos x och ln x samt komplexa tal. Exempel: y = sin 3x har derivatan y′ = 3 · cos 3x.

Matte 4 · Uppdaterad 9 november 2026

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Trigonometri och radianer

På nationella provet får du Skolverkets eget formelblad, och den här sidan är vår egen sammanfattning att öva med.

Vad	Formel	När du använder den
Trigonometriska ettan	sin² v + cos² v = 1	Få fram sin v när cos v är känd, eller tvärtom
Tangens	tan v = sin v / cos v	Skriva om uttryck med tan
Additionsformlerna	sin(u + v) = sin u · cos v + cos u · sin v och cos(u + v) = cos u · cos v − sin u · sin v	Summan av två vinklar
Subtraktionsformlerna	sin(u − v) = sin u · cos v − cos u · sin v och cos(u − v) = cos u · cos v + sin u · sin v	Skillnaden mellan två vinklar
Dubbla vinkeln	sin 2v = 2 · sin v · cos v och cos 2v = cos² v − sin² v	Skriva om sin 2v och cos 2v
Radianer	180° = π rad, alltså radianer = grader · π / 180	Byta mellan grader och radianer
Båglängd	b = r · v	Cirkelbågens längd. Vinkeln v ska stå i radianer
Sinuskurva	y = A · sin(kx + v) + D	Periodiska förlopp. Perioden är 360°/k, eller 2π/k i radianer
Ekvationen sin x = a	x = v + n · 360° eller x = 180° − v + n · 360°	v är en lösning, till exempel räknarens sin⁻¹(a)
Ekvationen cos x = a	x = ±v + n · 360°	v är en lösning, till exempel räknarens cos⁻¹(a)

u och v är vinklar och n är ett heltal. I sinuskurvan är A amplituden och D mittvärdet. I radianer byts 360° mot 2π och 180° mot π.

Derivator och integraler

Vad	Formel	När du använder den
Kedjeregeln	y = f(g(x)) ger y′ = f′(g(x)) · g′(x)	En funktion inuti en annan: yttre derivatan gånger inre derivatan
Produktregeln	y = f(x) · g(x) ger y′ = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)	Två funktioner som multipliceras
Kvotregeln	y = f(x) / g(x) ger y′ = (f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)) / (g(x))²	En funktion delad med en annan
Derivatan av sin x	y = sin x ger y′ = cos x	x i radianer
Derivatan av cos x	y = cos x ger y′ = −sin x	x i radianer. Lägg märke till minustecknet
Derivatan av tan x	y = tan x ger y′ = 1 / cos² x	x i radianer
Derivatan av ln x	y = ln x ger y′ = 1/x	Gäller för x > 0
Primitiva funktioner	sin x har −cos x + C och cos x har sin x + C	Integraler av sinus och cosinus
Rotationsvolym	V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx	Kroppen som bildas när kurvan roterar kring x-axeln

I kedjeregeln är f den yttre funktionen och g den inre. C är en konstant. Reglerna för sin x, cos x och tan x gäller när x mäts i radianer.

Komplexa tal

Vad	Formel	När du använder den
Imaginära enheten	i² = −1	Ekvationer som x² = −9, där x = ±3i
Rektangulär form	z = a + bi	a är realdelen och b imaginärdelen
Konjugat	z̄ = a − bi	Division: förläng med nämnarens konjugat
Absolutbelopp	\|z\| = √(a² + b²)	Avståndet från origo i det komplexa talplanet
Polär form	z = r(cos v + i · sin v)	r = \|z\| och v är argumentet, vinkeln mot den positiva reella axeln
Multiplikation i polär form	beloppen multipliceras och argumenten adderas	Vid division delas beloppen och argumenten subtraheras
de Moivres formel	zⁿ = rⁿ(cos nv + i · sin nv)	Potenser av komplexa tal och ekvationer som zⁿ = w
Faktorsatsen	p(a) = 0 precis när (x − a) är en faktor i p(x)	Faktorisera polynom och lösa polynomekvationer

a och b är reella tal. z̄ är konjugatet till z. Produkten z · z̄ = a² + b² är alltid ett reellt tal.

Exempel

Exempel 1: cos v när sin v = 0,6

Vinkeln v är spetsig och sin v = 0,6. Vi vill veta cos v utan att räkna ut v.

Sinus och cosinus för samma vinkel hänger ihop. Då väljer vi trigonometriska ettan.
sin² v + cos² v = 1
Vi sätter in sin v = 0,6. 0,6 · 0,6 = 0,36.
0,36 + cos² v = 1
Vi vill få cos² v ensamt. Vi subtraherar 0,36 på båda sidor.
cos² v = 1 − 0,36 = 0,64
Vi drar roten. Både 0,8 och −0,8 ger 0,64 i kvadrat.
cos v = ±0,8
För en spetsig vinkel är cos v positivt.
cos v = 0,8

Räknaren ger v = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87° och cos 36,87° ≈ 0,8. Dessutom är 0,36 + 0,64 = 1.

Exempel 2: derivera y = (3x − 2)⁴

Vi vill ha derivatan. Funktionen är en parentes upphöjd till fyra.

3x − 2 ligger inuti en potens. Det är en funktion i en funktion, så vi väljer kedjeregeln.
y′ = f′(g(x)) · g′(x)
Yttre funktionen är u⁴ med derivatan 4u³. Inre funktionen är u = 3x − 2 med derivatan 3.
y′ = 4(3x − 2)³ · 3
4 · 3 = 12.
y′ = 12(3x − 2)³

I x = 1 ger formeln 12 · 1³ = 12. Ändringskvoten (1,003⁴ − 1) / 0,001 ≈ 12,05. Det stämmer.

Exempel 3: derivera y = x · e²ˣ

Vi vill ha derivatan av en produkt av två funktioner.

Två funktioner multipliceras, x och e²ˣ. Då väljer vi produktregeln.
y′ = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
f(x) = x har derivatan 1. g(x) = e²ˣ har derivatan 2e²ˣ, enligt regeln för eᵏˣ.
f′(x) = 1 och g′(x) = 2e²ˣ
Vi sätter in i produktregeln.
y′ = 1 · e²ˣ + x · 2e²ˣ
Vi bryter ut e²ˣ.
y′ = (1 + 2x) · e²ˣ

I x = 0 ger formeln (1 + 0) · e⁰ = 1. Ändringskvoten (y(0,001) − y(0)) / 0,001 ≈ 1,002. Det stämmer.

Fallgropar

Att glömma inre derivatan: y = sin 3x deriveras till cos 3x.
Kedjeregeln ger yttre derivatan gånger inre derivatan. Inre funktionen 3x har derivatan 3, så y′ = 3 · cos 3x.
Att derivera en produkt faktor för faktor: x² · sin x blir 2x · cos x.
Produktregeln ger två termer: f′ · g + f · g′. Här blir det 2x · sin x + x² · cos x.
Att räkna i grader där formeln kräver radianer, till exempel i b = r · v.
Gör om först: 180° = π rad, så 60° = π/3 ≈ 1,05 rad. Ställ också räknaren på radianer, RAD.

Öva själv

0 av 4 rätt

Gör om 135° till radianer. Svara exakt, med π.
Ditt svar på uppgift 1
Derivera y = (2x + 5)³.
Ditt svar på uppgift 2
Derivera y = x · ln x.
Ditt svar på uppgift 3
Bestäm absolutbeloppet av z = 5 − 12i.
Ditt svar på uppgift 4

Vanliga frågor

Vilka formler är nya i Matte 4 jämfört med Matte 3?

Kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln, derivatorna av sin x, cos x, tan x och ln x, radianer, de trigonometriska formlerna och komplexa tal. Formlerna från Matte 3 används fortfarande.

När använder man kedjeregeln och när produktregeln?

Kedjeregeln gäller en funktion inuti en annan, som sin 3x eller (3x − 2)⁴. Produktregeln gäller två funktioner som multipliceras, som x · ln x. Ibland behövs båda, som i x · e²ˣ.

Varför räknar man i radianer i Matte 4?

Derivatan av sin x är cos x när x mäts i radianer. Med grader tillkommer faktorn π/180. Därför används radianer när vi deriverar och integrerar trigonometriska funktioner.

Är det här Skolverkets formelblad för Matte 4?

Nej. Det här är Somokais egen sammanfattning att öva med. Skolverkets formelblad finns på Skolverkets webbplats, och läraren delar ut det vid provet.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Källor: Nationellt prov i matematik – fortsättning nivå 2

Har du hittat ett fel? Hör av dig