pq-formeln: lös andragradsekvationer

Vi vill hitta de x som gör vänster sida noll. Här är p = −6 och q = 8.

1. Vi sätter in p och q. Tecknen följer med talen.

   x = −(−6)/2 ± √((−$\frac{6}{2}$)² − 8)

2. −(−6)/2 = 3 och (−3)² = 9, eftersom minus gånger minus blir plus.

   x = 3 ± √(9 − 8)

3. 9 − 8 = 1 och √1 = 1.

   x = 3 ± 1

4. Med plus får vi 4, med minus 2.

   x = 4 eller x = 2

x = 4: 16 − 24 + 8 = 0. x = 2: 4 − 12 + 8 = 0. Båda ger noll, så båda stämmer.

Vi vill ha x² utan tal framför. Vi delar varje term på båda sidor med 2.

1. 2x² ÷ 2 = x², 4x ÷ 2 = 2x, −30 ÷ 2 = −15 och 0 ÷ 2 = 0.

   x² + 2x − 15 = 0

2. Nu är p = 2 och q = −15.

   x = −1 ± √(1² − (−15))

3. Minus minus 15 blir plus 15, så 1 + 15 = 16.

   x = −1 ± √16

4. Roten ur 16 är 4.

   x = −1 ± 4

5. −1 + 4 = 3 och −1 − 4 = −5.

   x = 3 eller x = −5

x = 3: 18 + 12 − 30 = 0. x = −5: 50 − 20 − 30 = 0. Båda stämmer i den ursprungliga ekvationen.

Vi vill hitta x. Här är p = −4 och q = −1.

1. −p/2 = 2 och (p/2)² = 4. Minus q blir plus 1.

   x = 2 ± √(4 + 1)

2. √5 är inget heltal, så vi låter roten stå kvar och svarar exakt.

   x = 2 ± √5

3. Som närmevärde är √5 ≈ 2,236.

   x ≈ 4,24 eller x ≈ −0,24

x = 2 + √5: x² = 9 + 4√5 och 4x = 8 + 4√5, så 9 + 4√5 − 8 − 4√5 − 1 = 0. Stämmer.