somokai.

Nollproduktmetoden

Nollproduktmetoden bygger på att en produkt bara blir noll om minst en faktor är noll. (x − 2)(x + 5) = 0 ger x − 2 = 0 eller x + 5 = 0, alltså x = 2 eller x = −5.

Matte 2 · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Varför fungerar det?

Är en faktor noll blir produkten noll: 7 · 0 = 0. Är ingen faktor noll blir produkten aldrig noll. Alltså: är produkten noll, är minst en faktor noll.

(x − 4)(x + 3) = 0 ger x − 4 = 0 eller x + 3 = 0

Noll på ena sidan

Vi vill ha noll på ena sidan och en produkt på den andra.

(x − 1)(x + 2) = 4 går inte att lösa direkt, eftersom 4 kan vara många olika produkter. Gör först om den till x² + x − 6 = 0 och faktorisera: (x + 3)(x − 2) = 0.

  • Gör ena sidan till noll genom att subtrahera på båda sidor.
  • Skriv den andra sidan som en produkt, till exempel genom att bryta ut x.
  • Sätt varje faktor lika med noll och lös.
  • Kontrollera varje lösning i den ursprungliga ekvationen.

Bryt ut x

Saknas konstanttermen finns x i varje term. Då bryter vi ut x.

x² − 7x = x(x − 7)

Det ger x = 0 eller x = 7. Lösningen x = 0 glöms ofta bort.

Exempel

Exempel 1: (x − 4)(x + 3) = 0

Vi vill hitta de x som gör produkten noll. Ena sidan är redan noll.

  1. Minst en faktor måste vara noll.

    x − 4 = 0 eller x + 3 = 0

  2. I den första adderar vi 4 på båda sidor.

    x = 4

  3. I den andra subtraherar vi 3 på båda sidor.

    x = −3

  4. Ekvationen har två lösningar.

    x = 4 eller x = −3

x = 4: (4 − 4)(4 + 3) = 0 · 7 = 0. x = −3: (−7) · 0 = 0. Båda ger noll, så båda stämmer.

Exempel 2: 2x² − 10x = 0

Vi vill skriva vänster sida som en produkt. Båda termerna innehåller 2x, så vi bryter ut 2x.

  1. 2x² = 2x · x och 10x = 2x · 5.

    2x(x − 5) = 0

  2. Kontroll av utbrytningen: 2x · x = 2x² och 2x · (−5) = −10x. Det stämmer.

  3. Vi sätter varje faktor lika med noll.

    2x = 0 eller x − 5 = 0

  4. Vi delar den första med 2 och adderar 5 i den andra.

    x = 0 eller x = 5

x = 0: 2 · 0 − 10 · 0 = 0. x = 5: 2 · 25 − 10 · 5 = 50 − 50 = 0. Båda stämmer.

Exempel 3: x² = 6x

Vi vill ha noll på ena sidan. Vi delar inte med x, för då försvinner lösningen x = 0.

  1. Vi subtraherar 6x från båda sidor.

    x² − 6x = 0

  2. Båda termerna innehåller x. Vi bryter ut x.

    x(x − 6) = 0

  3. En av faktorerna måste vara noll.

    x = 0 eller x − 6 = 0

  4. I den andra adderar vi 6 på båda sidor.

    x = 0 eller x = 6

x = 0: 0² = 0 och 6 · 0 = 0. x = 6: 6² = 36 och 6 · 6 = 36. Båda är lösningar.

Fallgropar

  • Att dela båda sidor med x, så att x² = 6x ger bara x = 6.

    x kan vara noll, och vi kan inte dela med noll. Samla allt på ena sidan och bryt ut x i stället.

  • Att använda metoden när höger sida inte är noll, som i (x − 1)(x + 2) = 4.

    Multiplicera ihop och subtrahera 4: x² + x − 6 = 0. Faktorisera: (x + 3)(x − 2) = 0, alltså x = −3 eller x = 2.

  • Att få fel tecken, så att faktorn (x + 3) ger x = 3.

    Lös x + 3 = 0: subtrahera 3 på båda sidor, x = −3. Pröva: −3 + 3 = 0.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Lös ekvationen (x − 6)(x + 2) = 0.

  2. Lös ekvationen x² + 9x = 0.

  3. Lös ekvationen (2x − 3)(x + 1) = 0.

  4. Lös ekvationen x(x − 3) = 10.

Fler genomgångar med Fox

Vanliga frågor

När ska jag använda nollproduktmetoden och när pq-formeln?

Nollproduktmetoden passar när ekvationen är en produkt lika med noll, eller när du kan bryta ut x. Annars är pq-formeln oftast smidigast.

Fungerar metoden med fler än två faktorer?

Ja. x(x − 1)(x + 4) = 0 ger x = 0, x = 1 eller x = −4. Varje faktor ger en lösning.

Vad har nollproduktmetoden med grafen att göra?

Lösningarna är de x där grafen skär x-axeln, alltså där y är noll. De kallas nollställen.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig