Derivata och deriveringsregler
Derivatan f′(x) visar hur snabbt en funktion ändras, alltså grafens lutning i en punkt. Vi deriverar polynom term för term: xⁿ blir n · xⁿ⁻¹ och en konstant blir 0. Till exempel ger 3x² − 4x + 1 derivatan 6x − 4.
Se Fox räkna på tavlan
Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.
Lös din egen uppgift
Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.
Vad betyder derivatan?
Derivatan i en punkt är tangentens lutning: hur brant grafen är just där. Den är också en förändringshastighet, till exempel fart i meter per sekund.
Lutning kräver två punkter. Vi tar en punkt till på avståndet h och låter h gå mot 0.
f′(a) = lim (h → 0) (f(a + h) − f(a)) / h
Deriveringsreglerna för polynom
Vi vill derivera ett polynom en term i taget.
| f(x) | f′(x) | Varför |
|---|---|---|
| 7 | 0 | En konstant ändras aldrig. Grafen är vågrät, lutning 0. |
| 3x | 3 | Grafen är en rät linje med lutning 3. |
| x² | 2x | Exponenten 2 kommer ner framför, och exponenten minskar till 1. |
| x³ | 3x² | Exponenten 3 kommer ner, och exponenten minskar till 2. |
| 4x³ | 12x² | Talet framför följer med: 4 · 3x² = 12x². |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ | Den allmänna regeln. |
Multiplicera med exponenten och minska exponenten med ett. Ett tal framför följer med. Varje term deriveras för sig.
f′(a) och tangenten
Derivera först. Sätt sedan in talet i f′, inte i f.
f(x) = 3x² − 4x + 1 ger f′(x) = 6x − 4 och f′(2) = 6 · 2 − 4 = 8
- f′(a) > 0: grafen stiger i punkten.
- f′(a) < 0: grafen faller i punkten.
- f′(a) = 0: tangenten är vågrät.
- Tangenten är y = kx + m med k = f′(a), genom punkten (a, f(a)).
Exempel
Exempel 1: derivera f(x) = 3x² − 4x + 1
Vi vill ta fram f′(x) genom att derivera en term i taget.
Exponenten 2 kommer ner och multipliceras med 3. Exponenten minskar till 1.
(3x²)′ = 6x
−4x är en rät linje med lutningen −4.
(−4x)′ = −4
En konstant ändras aldrig, så derivatan är 0.
(1)′ = 0
Vi lägger ihop termernas derivator.
f′(x) = 6x − 4
f′(1) = 2. Med två närliggande punkter: f(1) = 0 och f(1,01) = 0,0203. Lutningen 0,0203 / 0,01 = 2,03 ligger nära 2.
Exempel 2: f(x) = x³ − 6x² + 5, beräkna f′(1) och f′(5)
Vi vill veta hur grafen lutar där x = 1 och x = 5. Först tar vi fram derivatan.
x³ blir 3x², −6x² blir −12x och konstanten 5 blir 0.
f′(x) = 3x² − 12x
Vi sätter in x = 1 i derivatan.
f′(1) = 3 − 12 = −9
Vi sätter in x = 5: 3 · 25 = 75 och 12 · 5 = 60.
f′(5) = 75 − 60 = 15
Negativ derivata: grafen faller. Positiv derivata: grafen stiger.
f′(1) = −9, f′(5) = 15
f(1) = 0 och f(1,001) ≈ −0,009003. Lutningen −0,009003 / 0,001 ≈ −9,003 ligger nära −9.
Exempel 3: tangenten till f(x) = x² + 2x där x = 1
Vi vill hitta tangenten y = kx + m. Vi behöver punkten och lutningen.
Punkten: f(1) = 1² + 2 · 1 = 3. Tangenten går genom (1, 3).
f(1) = 3
Vi deriverar, f′(x) = 2x + 2, och sätter in x = 1.
k = f′(1) = 2 · 1 + 2 = 4
Vi sätter in (1, 3) och k = 4 i y = kx + m.
3 = 4 · 1 + m
Vi subtraherar 4 på båda sidor: m = 3 − 4 = −1.
y = 4x − 1
4 · 1 − 1 = 3, så (1, 3) ligger på linjen. x² + 2x = 4x − 1 ger (x − 1)² = 0: en enda gemensam punkt.
Fallgropar
Att låta konstanten stå kvar, så att derivatan av 3x² + 5 blir 6x + 5.
En konstant ändras inte, så dess derivata är 0. Svaret är 6x.
Att sätta in talet i f i stället för i f′ när uppgiften frågar efter lutningen.
f(a) är var punkten ligger, f′(a) är hur brant det lutar där. Derivera först och sätt sedan in talet.
Att glömma att minska exponenten, så att x³ blir 3x³.
Exponenten kommer ner och minskar med ett: x³ blir 3x², och 4x³ blir 4 · 3x² = 12x².
Öva själv
0 av 4 rätt1Derivera f(x) = 5x² + 3x.
2Derivera f(x) = 2x³ − 7x + 4.
3f(x) = x² − 6x. Beräkna f′(5).
4Bestäm tangentens ekvation till f(x) = x³ − 2x i punkten där x = 2.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan f(x) och f′(x)?
f(x) är hur högt grafen ligger. f′(x) är hur brant den lutar på samma ställe.
Vad betyder det att derivatan är noll?
Tangenten är vågrät. Där kan grafen ha en topp, en botten eller en terrasspunkt. Därför söker vi f′(x) = 0 när vi letar största och minsta värden.
Vilken enhet har derivatan?
Enheten för y delat med enheten för x. Är y meter och x sekunder blir det meter per sekund, alltså en hastighet.
Läs också
- Åk 9 och gymnasietRäta linjens ekvation y = kx + mHur tar man fram räta linjens ekvation?
- Åk 7–9 och gymnasietPotenser och potenslagarHur räknar man med potenser?
- Matte 1–3Exponentialfunktioner y = C · aˣVad är en exponentialfunktion och vad betyder C och a?
- Matte 2pq-formeln: lös andragradsekvationerHur använder man pq-formeln?
Har du hittat ett fel? Hör av dig