Geometrisk summa och geometrisk talföljd

I en geometrisk summa är varje term den föregående gånger kvoten k. Med första termen a och n termer är s = a(kⁿ − 1)/(k − 1). Exempel: 2 + 6 + 18 + 54 = 2(3⁴ − 1)/(3 − 1) = 80.

Matte 3 · Uppdaterad 9 november 2026

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Geometrisk talföljd och kvoten k

I en geometrisk talföljd får vi nästa tal genom att multiplicera med samma tal varje gång. Det talet kallas kvoten k, eftersom vi får det när vi delar ett tal med talet före.

2, 6, 18, 54: k = $\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = 3$

Nummer	Tal	Skrivet med a och k
1	2	a
2	6	a · k
3	18	a · k²
4	54	a · k³

Det första talet kallas a. Tal nummer n är a · kⁿ⁻¹. Exponenten är ett mindre än numret, eftersom det första talet inte har multiplicerats med k alls.

Summaformeln

Vi vill addera n termer utan att räkna en i taget.

s = a(kⁿ − 1)/(k − 1)

a är den första termen.
k är kvoten. Formeln gäller när k inte är 1.
n är antalet termer, inte den högsta exponenten.

2 + 6 + 18 + 54 = 2(3⁴ − 1)/(3 − 1) = 2 · $\frac{80}{2} = 80$

Varför gäller formeln?

Vi kallar summan s och multiplicerar varje term med k = 3. Då flyttas alla termer ett steg åt höger.

s = 2 + 6 + 18 + 54

3s = 6 + 18 + 54 + 162

Vi subtraherar den övre raden från den undre. 6, 18 och 54 finns i båda raderna och tar ut varandra. Kvar blir den sista termen i 3s minus den första i s.

3s − s = 162 − 2 ger 2s = 160 och s = 80

Med bokstäver: ks − s = a · kⁿ − a. Vi bryter ut s till vänster och a till höger: s(k − 1) = a(kⁿ − 1). Sedan delar vi båda sidor med k − 1.

Exempel

Exempel 1: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160

Vi vill räkna ut summan med formeln. Vi behöver a, k och n.

Den första termen är 5.
a = 5
Kvoten är en term delad med termen före: 10/5 = 2. Det stämmer också för 20/10.
k = 2
Vi räknar termerna. De är sex stycken.
n = 6
Vi sätter in i formeln. 2⁶ = 64, så täljaren är 5 · 63.
s = 5(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 5 · $\frac{63}{1}$
Fem gånger 63 är 315.
s = 315

Vi adderar en term i taget: 5, 15, 35, 75, 155, 315. Samma svar.

Exempel 2: spara 5 000 kr per år med 3 % ränta

Maja sätter in 5 000 kr i början av varje år. Hur mycket finns direkt efter den fjärde insättningen?

Räntan 3 % ger förändringsfaktorn 1,03. Varje år på kontot multipliceras en insättning med 1,03.
k = 1,03
Den fjärde insättningen är ny och har inte vuxit. Den tredje har vuxit ett år, den andra två år.
5 000, 5 000 · 1,03, 5 000 · 1,03²
Den första insättningen har vuxit längst: tre år, inte fyra.
5 000 · 1,03³
Exponenterna går från 0 till 3. Det är fyra termer.
a = 5 000, k = 1,03, n = 4
Vi sätter in i formeln. 1,03⁴ = 1,12550881.
s = 5 000(1,03⁴ − 1)/(1,03 − 1) = 5 000 · $\frac{0{,}12\,550\,881}{0}$ ,03
0,12550881/0,03 = 4,183627. Vi multiplicerar och avrundar till hela kronor.
s = 5 000 · 4,183627 = 20 918,135 ≈ 20 918 kr

En insättning i taget: 5 000 + 5 150 + 5 304,50 + 5 463,635 = 20 918,135. Avrundat 20 918 kr, samma svar.

Exempel 3: 80 + 40 + 20 + 10 + 5

Här blir termerna mindre. Vi vill se att formeln fungerar när k är mindre än 1.

Kvoten är 40/80 = 0,5. Varje term är hälften av den förra.
a = 80, k = 0,5, n = 5
Vi sätter in i formeln. 0,5⁵ = 0,03125.
s = 80(0,5⁵ − 1)/(0,5 − 1) = 80 · (−0,96875)/(−0,5)
Ett negativt tal delat med ett negativt blir positivt: 0,96875/0,5 = 1,9375.
s = 80 · 1,9375 = 155

Vi adderar en term i taget: 80, 120, 140, 150, 155. Samma svar.

Fallgropar

Att sätta n till den högsta exponenten, så att en summa som slutar på 1,03³ får n = 3.
Exponenterna 0, 1, 2 och 3 är fyra termer. Räkna termerna, eller ta den högsta exponenten plus ett.
Att låta den första insättningen växa fyra år när summan räknas direkt efter den fjärde insättningen.
Då har den första vuxit tre år, inte fyra. Skriv upp vad varje insättning är värd innan du väljer a och n.
Att skriva kⁿ⁻¹ i summaformeln, eftersom den sista termen är a · kⁿ⁻¹.
I formeln står kⁿ. För 2 + 6 + 18 + 54 är det 3⁴ = 81, fast den sista termen är 2 · 3³.

Öva själv

0 av 4 rätt

Beräkna summan 4 + 12 + 36 + 108 + 324 med summaformeln.
Ditt svar på uppgift 1
En geometrisk talföljd börjar 3, 6, 12, … Beräkna summan av de 10 första talen.
Ditt svar på uppgift 2
Beräkna summan 640 + 320 + 160 + 80 + 40 + 20.
Ditt svar på uppgift 3
Du sätter in 1 000 kr i början av varje år i tre år. Räntan är 10 % per år. Hur mycket finns på kontot i slutet av det tredje året?
Ditt svar på uppgift 4

Vanliga frågor

Hur vet man om en talföljd är geometrisk?

Dela varje tal med talet före. Är kvoten densamma hela vägen är talföljden geometrisk. I 2, 6, 18, 54 är kvoten 3 varje gång. I 2, 5, 8, 11 ökar talen med 3, och den är aritmetisk.

Fungerar formeln när kvoten är mindre än 1?

Ja. Är k mellan 0 och 1 blir både kⁿ − 1 och k − 1 negativa, och minustecknen tar ut varandra. Många skriver då hellre s = a(1 − kⁿ)/(1 − k), som ger samma värde.

Vad händer om kvoten är 1?

Då är alla termer lika, och formeln ger division med noll. Summan är i stället antalet termer gånger den första termen: s = n · a.

Var använder man geometriska summor?

När samma belopp sätts in eller betalas regelbundet och växer med ränta, som vid sparande och lån med fasta betalningar. Också när något minskar med samma procent varje gång.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig