Sinus, cosinus och tangens i rätvinkliga trianglar

Sinus, cosinus och tangens är kvoter mellan sidor i en rätvinklig triangel, sedda från en vinkel v: sin v = motstående/hypotenusan, cos v = närliggande/hypotenusan, tan v = motstående/närliggande. Hypotenusan 10 cm och vinkeln 30° ger motstående 10 · sin 30° = 5 cm.

Matte 1–2 · Uppdaterad 9 november 2026

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Motstående, närliggande och hypotenusa

Sidorna får namn efter vilken spetsig vinkel v vi utgår från. Byter vi vinkel byter kateterna namn.

Hypotenusan: sidan mitt emot den räta vinkeln. Den är alltid längst.
Motstående katet: sidan mitt emot vinkeln v.
Närliggande katet: sidan mellan vinkeln v och den räta vinkeln.

Samband	Kvot	Passar när uppgiften handlar om
sin v	motstående katet / hypotenusan	motstående katet och hypotenusan
cos v	närliggande katet / hypotenusan	närliggande katet och hypotenusan
tan v	motstående katet / närliggande katet	de två kateterna

Kvoten beror på vinkeln, inte på triangelns storlek. I alla rätvinkliga trianglar med vinkeln 30° är motstående katet hälften av hypotenusan: sin 30° = 0,5.

Räkna ut en sida eller vinkel

Markera vinkeln v och namnge sidorna sedda från den.
Välj det samband som innehåller sidan vi söker och sidan vi vet.
Söker vi en sida: sätt in värdena och lös ekvationen.
Söker vi en vinkel: räkna ut kvoten och använd sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.

sin⁻¹ är sinus baklänges. Den svarar på frågan: vilken vinkel har den här kvoten? Eftersom sin 30° = 0,5 är sin⁻¹(0,5) = 30°.

Räknaren måste vara inställd på grader, DEG. Testa med sin 30: svaret ska bli 0,5. Visar den −0,988 räknar den i radianer.

Exakta värden för 30°, 45°, 60°

Vinkel v	sin v	cos v	tan v
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	1/√2	1/√2	1
60°	√3/2	1/2	√3

Som närmevärden med tre decimaler: √3/2 ≈ 0,866, 1/√2 ≈ 0,707, 1/√3 ≈ 0,577 och √3 ≈ 1,732.

sin 30° = cos 60°. De två spetsiga vinklarna är tillsammans 90°, och den ena vinkelns motstående katet är den andras närliggande.

Exempel

Exempel 1: motstående katet med sinus

Hypotenusan är 12 cm och vinkeln v är 28°. Vi vill veta motstående katet x.

Vi vet hypotenusan och söker motstående katet. Sinus innehåller just de två sidorna.
sin 28° = x/12
Vi vill få x ensamt. Vi multiplicerar båda sidor med 12.
12 · sin 28° = x
Räknaren ger sin 28° ≈ 0,4695.
x ≈ 12 · 0,4695 ≈ 5,634
Avrundat till en decimal är motstående katet 5,6 cm.
x ≈ 5,6 cm

5,6 cm är kortare än hypotenusan 12 cm, som en katet ska vara. Och 5,634/12 ≈ 0,4695, samma som sin 28°.

Exempel 2: hypotenusan med cosinus

Närliggande katet är 7 m och vinkeln v är 35°. Vi vill veta hypotenusan x.

Vi vet närliggande katet och söker hypotenusan. Det är cosinus.
cos 35° = 7/x
x står i nämnaren. Vi multiplicerar båda sidor med x.
x · cos 35° = 7
Vi delar båda sidor med cos 35° för att få x ensamt.
x = 7/cos 35°
Räknaren ger cos 35° ≈ 0,8192.
x ≈ $\frac{7}{0}$ ,8192 ≈ 8,545
Avrundat till en decimal är hypotenusan 8,5 m.
x ≈ 8,5 m

8,5 m är längre än kateten 7 m, som en hypotenusa ska vara. Och 8,545 · 0,8192 ≈ 7,00.

Exempel 3: en vinkel med tan⁻¹

Motstående katet är 5 cm och närliggande katet 8 cm. Vi vill veta vinkeln v.

Vi vet de två kateterna. Tangens innehåller just dem.
tan v = $\frac{5}{8}$
Vi räknar ut kvoten.
tan v = 0,625
Vi söker vinkeln, så vi använder tangens baklänges: tan⁻¹.
v = tan⁻¹(0,625) ≈ 32,01°
Avrundat till hela grader är vinkeln 32°.
v ≈ 32°

tan 32° ≈ 0,6249, nära 0,625. Vinkeln är mindre än 45°, och det stämmer eftersom motstående katet är kortare än närliggande.

Fallgropar

Att ha räknaren inställd på radianer, så att sin 30 visar −0,988.
Byt till grader, DEG. Testa alltid med sin 30 innan du börjar: svaret ska bli 0,5.
Att blanda ihop motstående och närliggande katet.
Utgå från vinkeln v. Motstående katet rör inte vid vinkeln. Närliggande katet går från vinkeln till den räta vinkeln.
Att använda sin i stället för sin⁻¹ när vi söker en vinkel.
sin tar en vinkel och ger en kvot. För att gå från kvot till vinkel använder vi sin⁻¹: sin⁻¹(0,5) = 30°.

Öva själv

0 av 4 rätt

I en rätvinklig triangel är hypotenusan 20 cm och vinkeln v är 30°. Hur lång är motstående katet?
Ditt svar på uppgift 1
Närliggande katet är 9 cm och vinkeln v är 40°. Hur lång är motstående katet? Avrunda till en decimal.
Ditt svar på uppgift 2
Motstående katet är 6 cm och hypotenusan är 10 cm. Hur stor är vinkeln v? Avrunda till hela grader.
Ditt svar på uppgift 3
En stege står mot en vägg. Stegens fot är 1,5 m från väggen och stegen bildar vinkeln 70° mot marken. Hur lång är stegen? Avrunda till en decimal.
Ditt svar på uppgift 4

Vanliga frågor

Hur vet jag om jag ska använda sin, cos eller tan?

Se vilka två sidor uppgiften handlar om, sedda från vinkeln. Motstående katet och hypotenusan ger sinus. Närliggande katet och hypotenusan ger cosinus. De två kateterna ger tangens.

Vad betyder sin⁻¹?

sin⁻¹ är sinus baklänges och kallas också arcsin. Den tar en kvot och ger vinkeln: sin⁻¹(0,5) = 30°. Det betyder inte 1 delat med sinus.

Fungerar sinus, cosinus och tangens i alla trianglar?

Sambanden på den här sidan gäller rätvinkliga trianglar. För andra trianglar finns sinussatsen och cosinussatsen, som kommer senare på gymnasiet.

Varför blir sinus och cosinus aldrig större än 1 här?

Hypotenusan är den längsta sidan. En katet delad med hypotenusan blir därför alltid mindre än 1. Tangens jämför två kateter och kan bli hur stor som helst.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig