somokai.

Enhetscirkeln: sinus och cosinus för alla vinklar

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo. Punkten på cirkeln vid vinkeln v har koordinaterna (cos v, sin v). Vid 90° ligger punkten i (0, 1), så cos 90° = 0 och sin 90° = 1.

Matte 3–4 · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Punkten (cos v, sin v)

Tänk dig en cirkel med radien 1 runt origo. Börja i punkten (1, 0), längst till höger på cirkeln. Vrid moturs runt origo med vinkeln v. Där du hamnar på cirkeln ligger punkten P.

P = (cos v, sin v)

cos v är x-koordinaten: hur långt åt höger eller vänster P ligger. sin v är y-koordinaten: hur högt eller lågt P ligger.

Mellan 0° och 90° ger en lodrät linje från P ner till x-axeln en rätvinklig triangel med hypotenusan 1. Närliggande katet delat med 1 är cos v, och motstående katet delat med 1 är sin v.

En rätvinklig triangel kan inte ha en vinkel på 150°. Men punkten på cirkeln finns för varje vinkel. Därför låter vi koordinaterna bestämma sinus och cosinus för alla vinklar.

KvadrantVinkelVar på cirkelncos v (x)sin v (y)
10° till 90°uppe till högerpositivpositiv
290° till 180°uppe till vänsternegativpositiv
3180° till 270°nere till vänsternegativnegativ
4270° till 360°nere till högerpositivnegativ

Exakta värden och spegelvinklar

VinkelRadianercos vsin v
0°010
30°π/6√3/2 ≈ 0,8661/2
45°π/4√2/2 ≈ 0,707√2/2 ≈ 0,707
60°π/31/2√3/2 ≈ 0,866
90°π/201
120°2π/3−1/2√3/2 ≈ 0,866
135°3π/4−√2/2 ≈ −0,707√2/2 ≈ 0,707
150°5π/6−√3/2 ≈ −0,8661/2
180°π−10

Punkterna för v och 180° − v ligger lika högt, speglade i y-axeln. De har samma sinus, och cosinus byter tecken. Därför är sin 150° = sin 30° och cos 150° = −cos 30°.

Punkterna för v och 360° − v ligger rakt över och under varandra, speglade i x-axeln. De har samma cosinus, och sinus byter tecken.

Därför har sin v = 0,5 två lösningar mellan 0° och 360°. Den vågräta linjen y = 0,5 skär cirkeln i två punkter: vid 30° och vid 180° − 30° = 150°.

Grader och radianer

I radianer mäts vinkeln som sträckan vi går längs enhetscirkeln. Ett helt varv är omkretsen 2π · 1 = 2π. Därför är 360° = 2π radianer och 180° = π radianer.

radianer = grader · π/180 grader = radianer · 180/π

Till exempel är 90° = 90 · π/180 = π/2 ≈ 1,57 radianer. En radian är 180/π ≈ 57,3°.

Exempel

Exempel 1: sin 150° och cos 150° utan räknare

Vi vill hitta koordinaterna för punkten vid 150°. Vi använder spegelvinkeln i första kvadranten.

  1. 150° ligger mellan 90° och 180°. Det är andra kvadranten, uppe till vänster.

    x negativ, y positiv

  2. Spegelvinkeln är 180° − 150° = 30°. De två punkterna ligger lika högt.

    sin 150° = sin 30° = 12\frac{1}{2}

  3. I sidled ligger de lika långt från y-axeln, men på var sin sida.

    cos 150° = −cos 30° = −√32\frac{3}{2} ≈ −0,866

Punkten ligger på en cirkel med radien 1, så x² + y² = 1: (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Det stämmer.

Exempel 2: lös sin v = 0,5 för 0° ≤ v < 360°

Vi söker alla vinklar där punkten på cirkeln ligger på höjden 0,5.

  1. Räknaren ger en vinkel: sin⁻¹(0,5) = 30°. Den ligger i första kvadranten.

    v = 30°

  2. Höjden 0,5 nås också i andra kvadranten, vid spegelvinkeln.

    v = 180° − 30° = 150°

  3. I tredje och fjärde kvadranten är sinus negativt. Där finns inga fler lösningar.

    v = 30° eller v = 150°

sin 30° = 0,5 och sin 150° = 0,5. Båda punkterna ligger på höjden 0,5, den ena till höger och den andra till vänster.

Exempel 3: skriv 150° i radianer

Vi vill byta enhet från grader till radianer. 180° är π radianer.

  1. En grad är π/180 radianer. Vi multiplicerar 150 med π/180.

    150 · π/180

  2. Vi förkortar 150/180 med 30.

    150180=56\frac{150}{180} = \frac{5}{6}

  3. Svaret skrivs exakt med π, eller som decimaltal.

    150° = 5π/6 ≈ 2,62 radianer

Tillbaka: 5π/6 · 180/π = 5 · 180/6 = 150°. Rimligt också: 150° är lite mindre än 180°, och 2,62 är lite mindre än π ≈ 3,14.

Fallgropar

  • Att blanda ihop koordinaterna och tro att sinus är x-koordinaten.

    cos v är x, i sidled. sin v är y, på höjden. Vid 90° är punkten (0, 1), så cos 90° = 0 och sin 90° = 1.

  • Att stanna vid räknarens svar och missa den andra lösningen till sin v = 0,5.

    Räknaren ger 30°. Spegelvinkeln 180° − 30° = 150° ligger på samma höjd och är också en lösning.

  • Att ha räknaren inställd på radianer när vinkeln står i grader, eller tvärtom.

    Prova ett känt värde: sin 30° ska bli 0,5. Blir det −0,988 står räknaren på radianer.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. I vilken kvadrant ligger punkten på enhetscirkeln vid vinkeln 200°? Svara med kvadrantens nummer.

  2. Bestäm cos 120° utan räknare.

  3. Skriv 270° i radianer. Svara exakt med π.

  4. Lös ekvationen cos v = 0,5 för 0° ≤ v < 360°.

Vanliga frågor

Varför har enhetscirkeln radien 1?

Då är hypotenusan 1, och vi slipper dela: cos v och sin v är punktens koordinater direkt. Med en annan radie r ligger punkten i (r · cos v, r · sin v).

Vad är tan v i enhetscirkeln?

tan v = sin v / cos v, alltså y delat med x. Det är lutningen på linjen från origo till punkten. Vid 90° och 270° är x = 0, och där saknar tan v värde.

Vad betyder en negativ vinkel eller en vinkel över 360°?

En negativ vinkel vrids medurs. En vinkel över 360° går mer än ett varv. Punkten hamnar på samma ställe för v och v + 360°, så sin 390° = sin 30° = 0,5.

Hur kommer man ihåg de exakta värdena?

Sinus för 0°, 30°, 45°, 60° och 90° är √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 och √4/2. Det ger 0, 1/2, √2/2, √3/2 och 1. Cosinus har samma värden i omvänd ordning.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig