Pythagoras sats steg för steg
Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel är a² + b² = c². Här är a och b kateterna, sidorna vid den räta vinkeln. c är hypotenusan, den längsta sidan. Vi kvadrerar, adderar eller subtraherar och drar sedan roten.
Se Fox räkna på tavlan
Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.
Kateter och hypotenusa
Satsen gäller bara i en rätvinklig triangel, där ett hörn är exakt 90 grader.
- Kateterna a och b: de två sidorna som bildar den räta vinkeln.
- Hypotenusan c: sidan mitt emot den räta vinkeln. Den är alltid längst.
a² + b² = c²
a² är arean av en kvadrat med sidan a. De två små kvadraterna har tillsammans samma area som kvadraten på hypotenusan.
Hypotenusan eller en katet?
| Vi söker | Vi räknar |
|---|---|
| Hypotenusan c | c² = a² + b², sedan c = √(c²) |
| En katet a | a² = c² − b², sedan a = √(a²) |
Först får vi en area, till exempel c² = 225. Sidan får vi med kvadratroten: √225 = 15, eftersom 15 · 15 = 225.
Är triangeln rätvinklig?
Vi kvadrerar de två kortaste sidorna och adderar. Blir summan lika med den längsta sidan i kvadrat, är triangeln rätvinklig.
Sidorna 7, 9 och 12 cm: 7² + 9² = 49 + 81 = 130 och 12² = 144.
130 ≠ 144
Summorna skiljer sig, så triangeln är inte rätvinklig.
Exempel
Exempel 1: hypotenusan när kateterna är 9 cm och 12 cm
Vi vill veta hypotenusan c. Båda kateterna är kända, så vi adderar deras kvadrater.
Vi sätter in kateterna i satsen.
9² + 12² = c²
Vi räknar ut kvadraterna: 9 · 9 = 81 och 12 · 12 = 144.
81 + 144 = c²
Vi adderar. Det är arean av kvadraten på hypotenusan.
c² = 225
Vi söker sidan, inte arean, så vi drar roten.
c = √225 = 15
Hypotenusan är 15 cm.
15 cm är längre än båda kateterna, som en hypotenusa ska vara. Och 15² = 225 = 81 + 144.
Exempel 2: en katet när hypotenusan är 25 cm och ena kateten 7 cm
Vi vill veta kateten a. Vi tar bort den kända lilla kvadraten från den stora.
Hypotenusan 25 står ensam på c:s plats.
a² + 7² = 25²
Vi räknar ut kvadraterna: 7 · 7 = 49 och 25 · 25 = 625.
a² + 49 = 625
Vi vill få a² ensamt. Vi subtraherar 49 på båda sidor, så att likheten består.
a² + 49 − 49 = 625 − 49
Till vänster blir 49 − 49 noll. Till höger blir det 576.
a² = 576
Vi drar roten.
a = √576 = 24
24 cm är kortare än hypotenusan 25 cm. Och 24² + 7² = 576 + 49 = 625 = 25².
Fallgropar
Att addera sidorna utan att kvadrera: 9 + 12 = 21.
Satsen handlar om kvadrater: 9² + 12² = 81 + 144 = 225, och √225 = 15.
Att sätta hypotenusan som a eller b och addera när vi söker en katet.
Sidan mitt emot den räta vinkeln är c och står ensam. För en katet gäller a² = c² − b².
Att glömma roten och svara c = 225 i stället för c = 15.
c² är en area. Sidan får vi med kvadratroten.
Öva själv
0 av 4 rätt1En rätvinklig triangel har kateterna 5 cm och 12 cm. Hur lång är hypotenusan?
2Hypotenusan i en rätvinklig triangel är 10 cm och ena kateten är 6 cm. Hur lång är den andra kateten?
3En triangel har sidorna 8 cm, 15 cm och 17 cm. Är den rätvinklig? Svara ja eller nej.
4En rätvinklig triangel har kateterna 3 cm och 7 cm. Hur lång är hypotenusan? Avrunda till en decimal.
Vanliga frågor
Gäller Pythagoras sats i alla trianglar?
Nej, bara i rätvinkliga trianglar. I andra trianglar blir a² + b² större eller mindre än c².
Hur räknar man ut diagonalen på en TV eller en rektangel?
Diagonalen är hypotenusan i en rätvinklig triangel. En skärm som är 80 cm bred och 45 cm hög har diagonalen √(80² + 45²) = √8425 ≈ 91,8 cm.
Varför heter det Pythagoras sats?
Den är uppkallad efter den grekiske matematikern Pythagoras, som levde för ungefär 2 500 år sedan. Sambandet var känt ännu tidigare, bland annat i Babylonien.
Läs också
Har du hittat ett fel? Hör av dig