somokai.

Proportionalitet: y = kx och omvänd proportionalitet

Proportionalitet betyder att två storheter följs åt: dubbelt så mycket av den ena ger dubbelt så mycket av den andra. Sambandet skrivs y = k · x. Med 40 kr per liter är y = 40 · x, så 3 liter kostar 120 kr.

Åk 7–9 · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Sambandet y = k · x

Vi vill se hur priset y hänger ihop med mängden x.

Jordgubbar kostar 40 kr per liter. Varje liter kostar lika mycket, så priset y är 40 gånger antalet liter x.

y = 40 · x

Talet 40 är proportionalitetskonstanten k. Den säger hur mycket y ökar när x ökar med 1, här priset för en liter. Dubbelt så många liter ger dubbelt så högt pris.

y = k · x k = y/x

k får vi genom att dela y med x. Det är samma sak som att räkna ut priset per styck, per kilo eller per liter.

Tabellen och grafen

I en tabell känner vi igen en proportionalitet på att y delat med x är samma tal i varje rad. Det talet är k.

Liter xPris y (kr)y/x
14040/1 = 40
28080/2 = 40
3120120/3 = 40
5200200/5 = 40

Grafen är en rät linje genom origo, punkten (0, 0). Noll liter kostar noll kronor. Ju större k, desto brantare linje.

Det är räta linjens ekvation y = kx + m med m = 0. Lutningen k är densamma som proportionalitetskonstanten.

Inte proportionellt, och omvänd proportionalitet

En fast avgift bryter proportionaliteten. En cykel kostar 50 kr att hyra plus 20 kr per timme: y = 20x + 50. Linjen är rät, men den börjar i (0, 50) och inte i origo.

Timmar xPris y (kr)y/x
17070/1 = 70
29090/2 = 45
4130130/4 = 32,5

y/x ändras från rad till rad, så sambandet är inte en proportionalitet. Dubbelt så lång tid ger inte dubbelt så högt pris.

I en omvänd proportionalitet är i stället produkten x · y samma tal: y = k/x. Dubbelt så stort x ger hälften så stort y. 120 km tar 2 timmar i 60 km/h och 4 timmar i 30 km/h.

Exempel

Exempel 1: 2 m kostar 7 kr, 5 m kostar 17,50 kr och 8 m kostar 28 kr

Vi vill veta om priset y är proportionellt mot längden x, och i så fall hitta k.

  1. Vi delar priset med längden i den första raden.

    72=3,5\frac{7}{2} = 3{,}5

  2. Vi gör samma sak i de två andra raderna.

    17,55=3,5\frac{17{,}5}{5} = 3{,}5 och 288=3,5\frac{28}{8} = 3{,}5

  3. Kvoten är 3,5 i varje rad. Priset är proportionellt mot längden, med k = 3,5 kr per meter.

    y = 3,5 · x

Vi sätter in x = 8 i formeln: 3,5 · 8 = 28, samma pris som i tabellen. Och x = 0 ger y = 0, alltså origo.

Exempel 2: 3 kg potatis kostar 36 kr. Vad kostar 7 kg?

Vi vill hitta k, priset för 1 kg, och sedan priset för 7 kg.

  1. Priset är proportionellt mot vikten. Vi sätter in x = 3 och y = 36 i y = k · x.

    36 = k · 3

  2. Vi vill få k ensamt. Vi delar båda sidor med 3, så att likheten består.

    363\frac{36}{3} = k · 33\frac{3}{3}

  3. Till höger blir 3/3 = 1, så k står ensamt. Till vänster blir det 12. Ett kilo kostar 12 kr.

    k = 12

  4. Nu vet vi att y = 12 · x. Vi sätter in x = 7.

    y = 12 · 7 = 84

  5. 7 kg potatis kostar 84 kr.

84/7 = 12 och 36/3 = 12. Priset per kilo är detsamma för båda vikterna, så svaret stämmer.

Exempel 3: 6 personer plockar ett äppelträd på 20 minuter. Hur lång tid tar det för 8 personer?

Fler personer ger kortare tid. Vi vill hitta produkten som är densamma.

  1. Hela arbetet är antalet personer gånger tiden: 120 minuters arbete.

    6 · 20 = 120

  2. Arbetet är lika stort för 8 personer. Vi delar de 120 minuterna på 8.

    1208=15\frac{120}{8} = 15

  3. 8 personer behöver 15 minuter.

8 · 15 = 120, samma arbete som 6 · 20. Fler personer gav kortare tid, som det ska vara i en omvänd proportionalitet.

Fallgropar

  • Att kalla y = 20x + 50 en proportionalitet, eftersom grafen är en rät linje.

    Linjen måste också gå genom origo. Här är y = 50 när x = 0, och y/x ändras från rad till rad.

  • Att vända på kvoten: 3 kg för 36 kr ger k = 3/36.

    k = y/x, det som y ökar med när x ökar med 1. Här är k = 36/3 = 12 kr per kg.

  • Att räkna ett omvänt samband som ett vanligt, så att 8 personer behöver längre tid än 6.

    Fråga först om svaret ska bli större eller mindre. Fler personer ger kortare tid: 6 · 20 = 120 och 120/8 = 15 minuter.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Garn kostar 8 kr per meter, alltså y = 8 · x. Vad kostar 6 meter?

  2. 4 biobiljetter kostar 520 kr. Priset är proportionellt mot antalet biljetter. Bestäm k.

  3. y är proportionellt mot x. När x = 3 är y = 13,5. Vad är y när x = 10?

  4. 9 lika stora pumpar tömmer en bassäng på 4 timmar. Hur lång tid tar det med 12 sådana pumpar? Svara i timmar.

Fler genomgångar med Fox

Vanliga frågor

Vad är proportionalitetskonstanten?

Det är talet k i y = k · x. Det säger hur mycket y ökar när x ökar med 1, till exempel priset per kilo. Vi får det som k = y/x.

Hur hittar man k i en graf?

Välj en punkt på linjen, men inte origo, och dela dess y-värde med dess x-värde. Går linjen genom (4, 10) är k = 10/4 = 2,5. Punkten (1, k) ligger alltid på linjen.

Vad är skillnaden mellan ett linjärt och ett proportionellt samband?

Ett linjärt samband är y = kx + m, en rät linje. Ett proportionellt samband är det linjära samband där m = 0, så att linjen går genom origo.

Vad är omvänd proportionalitet?

Ett samband där produkten x · y är konstant: y = k/x. När x blir dubbelt så stort blir y hälften så stort. Grafen är en kurva, inte en rät linje.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig