somokai.

Likformighet och likformiga trianglar

Likformighet betyder att två figurer har samma form men olika storlek. Motsvarande vinklar är lika stora, och alla sidor har ändrats med samma faktor, längdskalan. En triangel med sidorna 3, 4 och 5 cm är likformig med en som har 6, 8 och 10 cm.

Åk 8–9 och gymnasiet · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Samma form, olika storlek

Två figurer är likformiga när den ena är en förstoring eller förminskning av den andra. Formen är densamma. Det är storleken som skiljer.

  • Motsvarande vinklar är lika stora.
  • Förhållandet mellan motsvarande sidor är detsamma för alla sidpar.

Motsvarande sidor ligger på samma plats i de två figurerna: kortaste mot kortaste och längsta mot längsta. I trianglar ligger de mitt emot lika stora vinklar.

För trianglar räcker det att två vinklar är lika. Den tredje blir då också lika, eftersom vinkelsumman är 180°. Likformighet skrivs med tecknet ~, till exempel △ABC ~ △DEF.

Längdskalan

Vi vill veta hur många gånger större den ena figuren är.

Vi delar en sida i den stora figuren med motsvarande sida i den lilla. Kvoten kallas längdskalan, eller skalfaktorn. Den är densamma för alla sidpar.

SidaLiten triangelStor triangelStor ÷ liten
Kortast4 cm10 cm10/4 = 2,5
Mellan6 cm15 cm15/6 = 2,5
Längst8 cm20 cm20/8 = 2,5

Här är längdskalan 2,5. En okänd sida i den stora triangeln får vi genom att multiplicera motsvarande sida i den lilla med 2,5.

Är kvoten olika för olika sidpar är figurerna inte likformiga. En rektangel på 2 cm · 3 cm och en på 4 cm · 5 cm har kvoterna 4/2 = 2 och 5/3 ≈ 1,67.

Arean och längdskalan i kvadrat

Arean växer i två riktningar, både längd och bredd. Därför ändras den med längdskalan i kvadrat.

areaskala = (längdskala)²

En rektangel på 2 cm · 5 cm har arean 10 cm². Med längdskalan 3 blir sidorna 6 cm och 15 cm, och arean 90 cm². Arean blev 90/10 = 9 gånger större, alltså 3² gånger.

Exempel

Exempel 1: en triangel har sidorna 6, 8 och 12 cm. I en likformig triangel är kortaste sidan 9 cm

Vi vill veta den längsta sidan x i den stora triangeln.

  1. Kortaste sidan motsvarar kortaste: 9 mot 6. Längsta motsvarar längsta: x mot 12.

  2. Förhållandet stor delat med liten är detsamma för båda sidparen.

    x/12 = 96\frac{9}{6}

  3. 9 delat med 6 är 1,5. Det är längdskalan.

    x/12 = 1,5

  4. Vi vill få x ensamt. Vi multiplicerar båda sidor med 12, så att likheten består.

    x/12 · 12 = 1,5 · 12

  5. Till vänster tar tolvorna ut varandra. Till höger blir det 18. Längsta sidan är 18 cm.

    x = 18

18/12 = 1,5 och 9/6 = 1,5. Samma längdskala för båda sidparen. Och 18 cm är längre än 12 cm, som i en förstoring.

Exempel 2: hur högt är trädet?

En stolpe på 2 m har skuggan 3 m. Trädets skugga är 12 m samtidigt. Vi söker trädets höjd h.

  1. Solen lyser i samma vinkel på båda, och båda står lodrätt. Trianglarna har lika vinklar och är likformiga.

  2. Höjd motsvarar höjd och skugga motsvarar skugga.

    h/2 = 123\frac{12}{3}

  3. 12 delat med 3 är 4. Trädets triangel är 4 gånger större.

    h/2 = 4

  4. Vi multiplicerar båda sidor med 2 för att få h ensamt.

    h/2 · 2 = 4 · 2

  5. Trädet är 8 m högt.

    h = 8

Höjd delat med skugga ska vara lika i båda trianglarna: 2/3 ≈ 0,67 och 8/12 ≈ 0,67. Det stämmer.

Exempel 3: en triangel med arean 12 cm² förstoras med längdskalan 2,5

Vi vill veta arean av den förstorade triangeln.

  1. Arean ändras med längdskalan i kvadrat.

    2,5² = 2,5 · 2,5 = 6,25

  2. Vi multiplicerar den första arean med areaskalan 6,25.

    12 · 6,25 = 75

  3. Den förstorade triangeln har arean 75 cm².

Med basen 6 cm och höjden 4 cm är arean 6 · 4/2 = 12 cm². Förstorat blir det 15 · 10/2 = 75 cm². Samma svar.

Fallgropar

  • Att para ihop fel sidor, till exempel den kortaste sidan i ena figuren med den längsta i den andra.

    Skriv sidorna i storleksordning för båda figurerna. Motsvarande sidor ligger mitt emot lika stora vinklar.

  • Att addera i stället för att multiplicera: 6 blev 9, alltså 3 mer, så 12 blir 15.

    Likformighet bevarar förhållandet, inte skillnaden. Längdskalan är 9/6 = 1,5, och 12 · 1,5 = 18.

  • Att tro att dubbelt så långa sidor ger dubbelt så stor area.

    Arean växer i två riktningar: 2 · 2 = 4 gånger. En kvadrat med sidan 3 cm har arean 9 cm², med sidan 6 cm 36 cm².

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Två rektanglar är likformiga. Den lilla är 4 cm bred och den stora är 12 cm bred. Vilken är längdskalan från den lilla till den stora?

  2. Två trianglar är likformiga. Sidan 5 cm i den lilla motsvarar 15 cm i den stora. Hur lång är sidan i den stora som motsvarar 8 cm i den lilla?

  3. En triangel med sidorna 10, 14 och 18 cm förminskas så att den längsta sidan blir 4,5 cm. Hur lång blir den kortaste sidan?

  4. En figur har arean 20 cm². Den förstoras så att alla längder blir 3 gånger så långa. Vilken area får den nya figuren?

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan likformig och kongruent?

Likformiga figurer har samma form men får ha olika storlek. Kongruenta figurer har både samma form och samma storlek. Då är längdskalan 1.

Hur vet man att två trianglar är likformiga?

Det räcker att två vinklar i den ena är lika stora som två vinklar i den andra. Det går också att visa att alla tre sidparen har samma förhållande.

Är alla rektanglar likformiga?

Nej. Alla vinklar är 90°, men sidorna måste också ha samma förhållande. En rektangel på 2 cm · 3 cm är inte likformig med en på 4 cm · 5 cm. Alla kvadrater är däremot likformiga.

Hur hänger likformighet ihop med skala?

En karta eller ritning är likformig med verkligheten. Skalan 1:100 är längdskalan skriven som ett förhållande: varje längd på ritningen är en hundradel av den verkliga.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig