Andragradsfunktioner: nollställen, symmetrilinje, vertex

Andragradsfunktionen y = ax² + bx + c har nollställen där y = 0. Symmetrilinjen x = −b/(2a) går mitt emellan dem, och där ligger vertex. Exempel: y = x² − 4x − 5 har nollställena −1 och 5 och vertex (2, −9).

Matte 2 · Uppdaterad 9 november 2026

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Parabeln och talen a och c

Grafen till y = ax² + bx + c är en parabel. Talet a framför x² avgör åt vilket håll den öppnar sig.

Talet a	Parabeln	Vertex är
Positivt, som i y = x² − 4x − 5	öppnar uppåt, som en glad mun	minimipunkt, kurvans lägsta punkt
Negativt, som i y = −x² + 2x + 8	öppnar nedåt, som en ledsen mun	maximipunkt, kurvans högsta punkt

Talet c visar var kurvan skär y-axeln. Där är x = 0, och då blir y = a · 0² + b · 0 + c = c. Skärningspunkten är (0, c).

Nollställen och symmetrilinje

Vi vill veta var kurvan skär x-axeln och var dess mitt går.

På x-axeln är y = 0. Nollställena är därför lösningarna till ax² + bx + c = 0. Vi löser ekvationen med pq-formeln eller nollproduktmetoden.

Parabeln är spegelsymmetrisk. Symmetrilinjen går därför mitt emellan nollställena x₁ och x₂. Mitten av två tal är deras medelvärde.

x = (x₁ + x₂)/2 eller x = −b/(2a)

x = −b/(2a) är samma tal som −p/2 i pq-formeln. Formeln fungerar även när kurvan saknar nollställen.

Vertex: högsta eller lägsta punkten

Vertex ligger på symmetrilinjen. Vi sätter in symmetrilinjens x-värde i funktionen och får y-värdet. För y = x² − 4x − 5 är symmetrilinjen x = 2.

y = 2² − 4 · 2 − 5 = 4 − 8 − 5 = −9

Vertex är (2, −9). Talet a = 1 är positivt, så det är en minimipunkt. Funktionens minsta värde är −9.

Vi söker	Så gör vi	y = x² − 4x − 5
Uppåt eller nedåt	Tecknet på a	a = 1, uppåt
Skärning med y-axeln	(0, c)	(0, −5)
Nollställen	Lös ax² + bx + c = 0	x = −1 och x = 5
Symmetrilinje	x = −b/(2a), eller mitt emellan nollställena	x = 2
Vertex	Sätt in symmetrilinjens x i funktionen	(2, −9)

Exempel

Exempel 1: y = x² + 4x − 12

Vi vill ha nollställen, symmetrilinje och vertex för y = x² + 4x − 12.

Nollställen: vi sätter y = 0 och använder pq-formeln med p = 4 och q = −12.
x = −2 ± √(2² + 12) = −2 ± √16
√16 = 4. Det ger −2 + 4 = 2 och −2 − 4 = −6.
x = 2 eller x = −6
Symmetrilinjen går mitt emellan nollställena 2 och −6. Vi tar deras medelvärde.
x = (2 + (−6))/2 = − $\frac{4}{2}$ = −2
Vertex: vi sätter in x = −2 i funktionen. (−2)² = 4 och 4 · (−2) = −8.
y = 4 − 8 − 12 = −16
a = 1 är positivt, så vertex (−2, −16) är en minimipunkt.

Formeln ger samma linje: x = −b/(2a) = −4/2 = −2. Nollställena stämmer: 4 + 8 − 12 = 0 och 36 − 24 − 12 = 0.

Exempel 2: y = −x² + 2x + 8, en parabel som öppnar nedåt

Vi vill hitta funktionens största värde. Här är a = −1, b = 2 och c = 8.

a är negativt. Parabeln öppnar nedåt, så vertex är en maximipunkt.
Symmetrilinjen med formeln: −b är −2 och 2a är 2 · (−1) = −2.
x = −b/(2a) = −2/(−2) = 1
Vi sätter in x = 1. −x² betyder −(1 · 1) = −1.
y = −1 + 2 · 1 + 8 = 9
Vertex är (1, 9). Funktionens största värde är 9.
Kurvan skär y-axeln i (0, 8), eftersom c = 8.

Nollställena: −x² + 2x + 8 = 0 ger x = 4 och x = −2. Mitt emellan dem: (4 + (−2))/2 = 1. Samma symmetrilinje.

Exempel 3: y = x² − 4x + 7, en kurva utan nollställen

Vi vill hitta vertex och förstå varför kurvan aldrig når x-axeln.

pq-formeln ger ett negativt tal under roten: 4 − 7 = −3. Nollställen saknas.
x = 2 ± √(2² − 7)
Symmetrilinjen får vi ändå med formeln. Här är a = 1 och b = −4.
x = −(−4)/(2 · 1) = $\frac{4}{2} = 2$
Vi sätter in x = 2 i funktionen.
y = 2² − 4 · 2 + 7 = 4 − 8 + 7 = 3
Vertex (2, 3) är en minimipunkt. Lägsta värdet är 3, så kurvan ligger över x-axeln.

Symmetrin stämmer: x = 1 ger 1 − 4 + 7 = 4 och x = 3 ger 9 − 12 + 7 = 4, samma y-värde.

Fallgropar

Att tappa minustecknet i x = −b/(2a), så att y = x² − 4x − 5 får symmetrilinjen x = −2.
b = −4, så −b = −(−4) = 4. Symmetrilinjen är x = 4/2 = 2. Sätt negativa tal inom parentes.
Att svara med symmetrilinjens x-värde när uppgiften frågar efter största eller minsta värdet.
Värdet är y-koordinaten i vertex. Sätt in x i funktionen. För y = x² − 4x − 5 är minsta värdet −9, inte 2.
Att räkna −x² som (−x)², så att x = 3 ger +9.
Exponenten hör till x, inte till minustecknet: −3² = −(3 · 3) = −9.

Öva själv

0 av 4 rätt

Vilka nollställen har y = x² − 10x + 16?
Ditt svar på uppgift 1
En parabel har nollställena x = −3 och x = 7. Vilken är symmetrilinjen? Svara på formen x = …
Ditt svar på uppgift 2
Vilken är symmetrilinjen till y = 2x² − 12x + 10? Svara på formen x = …
Ditt svar på uppgift 3
Vilket är det minsta värdet för y = x² − 6x + 11?
Ditt svar på uppgift 4

Vanliga frågor

Vad är vertex?

Vertex är parabelns vändpunkt: den lägsta punkten när kurvan öppnar uppåt och den högsta när den öppnar nedåt. Den kallas också minimipunkt eller maximipunkt.

Hur hittar man symmetrilinjen om funktionen saknar nollställen?

Med x = −b/(2a). För y = x² − 4x + 7 blir det x = 4/2 = 2, fast kurvan aldrig når x-axeln.

Hur många nollställen kan en andragradsfunktion ha?

Två, ett eller inget. Med ett enda nollställe, en dubbelrot, ligger vertex på x-axeln. Utan nollställen ligger hela kurvan över eller under x-axeln.

Var skär kurvan y-axeln?

I punkten (0, c). När x = 0 blir både ax² och bx noll, och kvar blir y = c. Kurvan y = x² − 4x − 5 skär y-axeln i (0, −5).

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig