somokai.

Kvadreringsreglerna: (a + b)² och (a − b)²

Kvadreringsreglerna är två genvägar för en parentes i kvadrat: (a + b)² = a² + 2ab + b² och (a − b)² = a² − 2ab + b². Till exempel är (x + 3)² = x² + 6x + 9.

Åk 9 och gymnasiet · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Första kvadreringsregeln

Vi vill se varifrån 2ab kommer.

(a + b)² betyder (a + b) gånger (a + b). Vi multiplicerar varje term i den första parentesen med varje term i den andra.

(a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b

a · b och b · a är samma produkt. Den finns alltså två gånger, och därför står det 2ab i mitten. 2ab kallas dubbla produkten.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Som bild: en kvadrat med sidan a + b består av en kvadrat med arean a², en med arean b² och två rektanglar med arean ab.

Andra kvadreringsregeln

Med minus i parentesen får de två produkterna i mitten minustecken. Sista termen blir plus, eftersom minus gånger minus är plus.

(a − b)(a − b) = a · a − a · b − b · a + b · b

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Uttryckab2abUtan parentes
(x + 3)²x36xx² + 6x + 9
(x − 7)²x714xx² − 14x + 49
(2x + 5)²2x520x4x² + 20x + 25
(3x − 4)²3x424x9x² − 24x + 16

Reglerna baklänges: faktorisera

Vi vill skriva tre termer som en parentes i kvadrat.

  • Är första och sista termen kvadrater? I x² + 14x + 49 är 49 = 7².
  • Är mittentermen dubbla produkten? 2 · x · 7 = 14x, så det stämmer.
  • Tecknet i mitten blir tecknet i parentesen: x² + 14x + 49 = (x + 7)².

x² − 14x + 49 = (x − 7)²

Stämmer inte mittentermen går regeln inte att använda. x² + 10x + 16 är ingen jämn kvadrat, eftersom 2 · x · 4 = 8x och inte 10x.

Exempel

Exempel 1: (x − 7)² term för term

Vi vill skriva (x − 7)² utan parentes och se att regeln ger samma svar.

  1. Kvadraten betyder parentesen gånger sig själv.

    (x − 7)(x − 7)

  2. x gånger båda termerna: x · x = x² och x · (−7) = −7x.

    x² − 7x

  3. −7 gånger båda termerna: −7 · x = −7x och (−7) · (−7) = 49.

    x² − 7x − 7x + 49

  4. Vi samlar x-termerna: −7x − 7x = −14x.

    x² − 14x + 49

  5. Regeln med a = x och b = 7 ger samma sak: 2ab = 2 · x · 7 = 14x.

    (x − 7)² = x² − 14x + 49

Vi sätter in x = 10. Början: (10 − 7)² = 3² = 9. Svaret: 100 − 140 + 49 = 9. Det stämmer.

Exempel 2: (3x + 4)² med första kvadreringsregeln

Vi vill skriva (3x + 4)² utan parentes. Här är a = 3x och b = 4.

  1. a² = (3x)² = 3x · 3x = 9x². Även trean kvadreras.

    9x²

  2. Dubbla produkten: 2ab = 2 · 3x · 4 = 24x.

    9x² + 24x

  3. b² = 4² = 16.

    9x² + 24x + 16

Vi sätter in x = 2. Början: (6 + 4)² = 10² = 100. Svaret: 36 + 48 + 16 = 100. Det stämmer.

Exempel 3: faktorisera 4x² − 20x + 25

Vi vill skriva uttrycket som en parentes i kvadrat.

  1. Första termen är en kvadrat: 4x² = (2x)². Då är a = 2x.

    4x² = (2x)²

  2. Sista termen är också en kvadrat: 25 = 5². Då är b = 5.

    25 = 5²

  3. Mittentermen ska vara dubbla produkten. Den är det.

    2 · 2x · 5 = 20x

  4. Minus i mitten ger minus i parentesen. Det är andra kvadreringsregeln baklänges.

    4x² − 20x + 25 = (2x − 5)²

Vi multiplicerar ut: (2x − 5)(2x − 5) = 4x² − 10x − 10x + 25 = 4x² − 20x + 25. Vi fick tillbaka uttrycket.

Fallgropar

  • Att kvadrera varje term för sig och skriva (a + b)² = a² + b².

    Pröva med tal: (3 + 4)² = 7² = 49, men 3² + 4² = 25. Det som saknas är dubbla produkten 2 · 3 · 4 = 24.

  • Att sätta minus framför sista termen: (x − 4)² = x² − 8x − 16.

    Sista termen är (−4) · (−4) = +16. Rätt svar är x² − 8x + 16. Kvadraten b² blir aldrig negativ.

  • Att glömma kvadrera talet framför x: (3x + 2)² = 3x² + 12x + 4.

    Hela a kvadreras: (3x)² = 3x · 3x = 9x². Rätt svar är 9x² + 12x + 4.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Skriv (x + 8)² utan parentes.

  2. Skriv (x − 6)² utan parentes.

  3. Skriv (5x + 2)² utan parentes.

  4. Faktorisera x² − 18x + 81.

Vanliga frågor

Varför blir det 2ab i mitten?

När vi multiplicerar (a + b)(a + b) term för term får vi ab två gånger: en gång som a · b och en gång som b · a. Tillsammans blir de 2ab.

När använder man kvadreringsreglerna?

När en parentes med två termer står i kvadrat, och baklänges när vi faktoriserar. Reglerna sparar tid, men att multiplicera term för term ger alltid samma svar.

Vad är skillnaden mellan kvadreringsreglerna och konjugatregeln?

Kvadreringsreglerna gäller samma parentes två gånger, (a + b)². Konjugatregeln gäller två parenteser med olika tecken: (a + b)(a − b) = a² − b². Där försvinner mittentermen helt.

Kan man räkna tal i huvudet med kvadreringsreglerna?

Ja. 31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961, och 49² = (50 − 1)² = 2 500 − 100 + 1 = 2 401.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig