Konjugatregeln: (a + b)(a − b) = a² − b²
Konjugatregeln säger att (a + b)(a − b) = a² − b². Två parenteser med samma termer men olika tecken ger kvadraten på den första termen minus kvadraten på den andra. Till exempel är (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
Se Fox räkna på tavlan
Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.
Lös din egen uppgift
Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.
Därför försvinner mittentermerna
Vi vill se varför det bara blir två termer kvar.
Vi multiplicerar varje term i första parentesen med varje term i andra. Det ger fyra produkter.
(a + b)(a − b) = a · a − a · b + b · a − b · b
a · b och b · a är samma produkt, en gång med minus och en gång med plus. Tillsammans blir de noll. Kvar blir a² − b².
(a + b)(a − b) = a² − b²
| Uttryck | a | b | a² − b² |
|---|---|---|---|
| (x + 5)(x − 5) | x | 5 | x² − 25 |
| (2x + 3)(2x − 3) | 2x | 3 | 4x² − 9 |
| (7 − x)(7 + x) | 7 | x | 49 − x² |
Ordningen på parenteserna spelar ingen roll: (a − b)(a + b) ger samma svar.
Konjugatregeln baklänges: faktorisera
Vi vill skriva en kvadrat minus en kvadrat som två parenteser.
Vi frågar vad som har kvadrerats i varje term. I x² − 25 är det x och 5, eftersom 5² = 25.
x² − 25 = (x + 5)(x − 5)
I 4x² − 9 är 4x² = (2x)² och 9 = 3². Då är a = 2x och b = 3.
4x² − 9 = (2x + 3)(2x − 3)
Regeln kräver minus mellan kvadraterna. x² + 25 går inte att dela upp på det sättet.
Huvudräkning med konjugatregeln
Två tal som ligger lika långt från ett jämnt tiotal kan skrivas som (a − b)(a + b). 19 är 20 − 1 och 21 är 20 + 1.
19 · 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 20² − 1² = 400 − 1 = 399
| Produkt | Mitten a | Avståndet b | a² − b² |
|---|---|---|---|
| 19 · 21 | 20 | 1 | 400 − 1 = 399 |
| 28 · 32 | 30 | 2 | 900 − 4 = 896 |
| 46 · 54 | 50 | 4 | 2 500 − 16 = 2 484 |
Exempel
Exempel 1: (x + 8)(x − 8) term för term
Vi vill multiplicera ut och se att mittentermerna tar ut varandra.
x gånger båda termerna: x · x = x² och x · (−8) = −8x.
x² − 8x
8 gånger båda termerna: 8 · x = 8x och 8 · (−8) = −64.
x² − 8x + 8x − 64
−8x + 8x = 0, så mittentermerna försvinner.
x² − 64
Regeln med a = x och b = 8 ger samma svar direkt.
(x + 8)(x − 8) = x² − 8² = x² − 64
Vi sätter in x = 10. Början: 18 · 2 = 36. Svaret: 100 − 64 = 36. Det stämmer.
Exempel 2: faktorisera 9x² − 16
Vi vill skriva uttrycket som två parenteser.
Första termen är en kvadrat: 9x² = (3x)², eftersom 3x · 3x = 9x².
a = 3x
Andra termen är också en kvadrat: 16 = 4².
b = 4
Det står minus mellan kvadraterna, så konjugatregeln passar.
9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4)
Vi multiplicerar ut: 9x² − 12x + 12x − 16 = 9x² − 16. Vi fick tillbaka uttrycket.
Exempel 3: 38 · 42 i huvudet
Vi vill räkna ut 38 · 42 utan uppställning.
Mitt emellan 38 och 42 ligger 40. Båda talen ligger 2 från 40.
38 = 40 − 2 och 42 = 40 + 2
Produkten har formen (a − b)(a + b) med a = 40 och b = 2.
38 · 42 = (40 − 2)(40 + 2)
Konjugatregeln ger a² − b². 40² = 1 600 och 2² = 4.
1 600 − 4 = 1 596
Vi räknar på ett annat sätt: 38 · 40 = 1 520 och 38 · 2 = 76. 1 520 + 76 = 1 596. Samma svar.
Fallgropar
Att använda konjugatregeln när parenteserna har samma tecken: (x + 5)(x + 5) = x² − 25.
Samma tecken är en kvadrat: (x + 5)² = x² + 10x + 25. Konjugatregeln kräver ett plus och ett minus.
Att glömma kvadrera talet framför x: (2x + 3)(2x − 3) = 2x² − 9.
Hela a kvadreras: (2x)² = 2x · 2x = 4x². Rätt svar är 4x² − 9.
Att skriva en kvadrat minus en kvadrat som en parentes i kvadrat: x² − 25 = (x − 5)².
(x − 5)² = x² − 10x + 25 har en mittenterm. x² − 25 har ingen, så svaret är (x + 5)(x − 5).
Öva själv
0 av 4 rätt1Multiplicera ut (x + 9)(x − 9).
2Räkna ut 29 · 31 med konjugatregeln.
3Multiplicera ut (4x + 5)(4x − 5).
4Faktorisera 25x² − 49.
Vanliga frågor
Vad är ett konjugat?
Två uttryck med samma termer men olika tecken mellan dem, som x + 5 och x − 5. Det ena kallas det andras konjugat.
Spelar ordningen på parenteserna någon roll?
Nej. (a − b)(a + b) och (a + b)(a − b) är samma produkt, och båda blir a² − b².
När använder man konjugatregeln?
När två parenteser skiljer sig åt i ett enda tecken, när vi faktoriserar en kvadrat minus en kvadrat och när vi förkortar bråk: (x² − 9)/(x + 3) = x − 3.
Fungerar huvudräkningen för alla tal?
Nej, den hjälper när talen ligger lika långt från ett jämnt tiotal. 28 · 32 fungerar, eftersom båda ligger 2 från 30. 28 · 33 gör det inte. Då räknar vi 28 · 30 + 28 · 3 = 924.
Läs också
Har du hittat ett fel? Hör av dig