Standardavvikelse: räkna ut den steg för steg

Fem vänner gjorde 12, 14, 15, 16 och 18 armhävningar. Vi vill veta spridningen i gruppen.

1. Medelvärdet: vi adderar värdena och delar med antalet.

   (12 + 14 + 15 + 16 + 18)/5 = $\frac{75}{5} = 15$

2. Avvikelserna: vi subtraherar medelvärdet 15 från varje värde.

   12 − 15 = −3, 14 − 15 = −1, 15 − 15 = 0, 16 − 15 = 1, 18 − 15 = 3

3. Vi kvadrerar varje avvikelse. Minus gånger minus blir plus.

   (−3)² = 9, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 3² = 9

4. Vi adderar kvadraterna.

   9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20

5. De fem är hela gruppen vi beskriver, en population. Vi delar med n = 5.

   $\frac{20}{5} = 4$

6. Vi drar roten och får tillbaka enheten armhävningar.

   σ = √4 = 2

Avvikelserna −3, −1, 0, 1 och 3 har summan 0, som de alltid ska. Standardavvikelsen 2 ligger mellan den minsta avvikelsen 0 och den största 3.

De fem är nu ett stickprov ur en hel klass. Vi vill uppskatta klassens spridning.

1. Steg 1 till 4 är desamma. Summan av kvadraterna är 20.

   9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20

2. Vid stickprov delar vi med n − 1, alltså 5 − 1 = 4.

   $\frac{20}{4} = 5$

3. Vi drar roten och avrundar till två decimaler.

   s = √5 ≈ 2,24

4. Ett stickprov visar oftast lite för liten spridning. Att dela med n − 1 väger upp det.

2,24 · 2,24 ≈ 5,02, nära 5. Och s ≈ 2,24 är större än σ = 2, eftersom vi delade med ett mindre tal.

Nötpåsar väger i medeltal 500 g, med standardavvikelsen 4 g. Hur stor andel väger 492 till 508 g?

1. Vikten är normalfördelad. Vi mäter gränsernas avstånd till medelvärdet.

   500 − 492 = 8 g och 508 − 500 = 8 g

2. Vi räknar om avståndet till antal standardavvikelser.

   $\frac{8}{4} = 2$

3. Gränserna ligger två standardavvikelser från medelvärdet. Regeln ger ungefär 95 %.

   ungefär 95 % väger 492 till 508 g

4. Av 1 000 påsar är det ungefär 950, eftersom 0,95 · 1 000 = 950.

Baklänges: 500 − 2 · 4 = 492 och 500 + 2 · 4 = 508. Det är uppgiftens gränser, så 95 % är rätt rad i regeln.