somokai.

Kvadratrot: vad roten ur ett tal betyder

Roten ur ett tal, kvadratroten, är det tal, positivt eller noll, som gånger sig självt ger talet. √49 = 7, eftersom 7 · 7 = 49. Ekvationen x² = 49 har däremot två lösningar: x = 7 och x = −7.

Åk 7–9 och gymnasiet · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Vilket tal gånger sig självt?

Vi vill hitta talet som gånger sig självt blir 49.

Tecknet √ läses roten ur. √49 är frågan: vilket positivt tal gånger sig självt ger 49? Svaret är 7.

√49 = 7, eftersom 7 · 7 = 49

Att dra roten ur är motsatsen till att kvadrera. En kvadrat med arean 49 cm² har sidan √49 = 7 cm. Talen 1, 4, 9, 16 och så vidare kallas kvadrattal.

KvadratRot
1² = 1√1 = 1
2² = 4√4 = 2
3² = 9√9 = 3
4² = 16√16 = 4
5² = 25√25 = 5
6² = 36√36 = 6
7² = 49√49 = 7
8² = 64√64 = 8
9² = 81√81 = 9
10² = 100√100 = 10
11² = 121√121 = 11
12² = 144√144 = 12
13² = 169√169 = 13
14² = 196√196 = 14
15² = 225√225 = 15

Uppskatta och förenkla rötter

De flesta rötter blir inte heltal. Då letar vi upp de två kvadrattal som talet ligger mellan. 50 ligger mellan 49 och 64.

√49 < √50 < √64, alltså 7 < √50 < 8

50 ligger nära 49, så √50 är lite mer än 7. Miniräknaren ger √50 ≈ 7,07.

Roten ur en produkt är produkten av rötterna. Det gäller när a och b inte är negativa.

√(a · b) = √a · √b

√(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6

Med regeln förenklar vi en rot. Vi letar efter ett kvadrattal som går jämnt upp i talet: 50 = 25 · 2.

√50 = √25 · √2 = 5 · √2

Regeln gäller inte addition: √(9 + 16) = √25 = 5, men √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

√49 och x² = 49

√49 betyder alltid det positiva talet 7. Ekvationen x² = 49 frågar efter alla tal som i kvadrat blir 49.

7 · 7 = 49 (−7) · (−7) = 49

Minus gånger minus blir plus. Därför passar både 7 och −7, och ekvationen har två lösningar.

x² = 49 ger x = 7 eller x = −7

Är x en längd passar den positiva lösningen, eftersom en sida inte kan vara −7 cm.

Exempel

Exempel 1: uppskatta √30

Vi vill veta ungefär hur stort √30 är, utan miniräknare.

  1. Vi letar upp kvadrattalen närmast 30: 5 · 5 = 25 och 6 · 6 = 36.

    25 < 30 < 36

  2. Då ligger roten mellan 5 och 6.

    5 < √30 < 6

  3. 30 ligger ungefär mitt emellan 25 och 36. Vi prövar 5,5.

    5,5 · 5,5 = 30,25

  4. 30,25 är lite mer än 30. Roten är alltså strax under 5,5.

    √30 ≈ 5,5

Miniräknaren ger √30 ≈ 5,48. Och 5,48 · 5,48 ≈ 30,03, nära 30.

Exempel 2: förenkla √72

Vi vill ha ett så litet tal som möjligt under rottecknet.

  1. Vi letar efter det största kvadrattalet som går jämnt upp i 72. Det är 36.

    72 = 36 · 2

  2. Roten ur en produkt är produkten av rötterna.

    √72 = √36 · √2

  3. √36 = 6, eftersom 6 · 6 = 36.

    √72 = 6 · √2

Vi kvadrerar svaret: 6 · √2 · 6 · √2 = 36 · 2 = 72, eftersom √2 · √2 = 2. Miniräknaren ger √72 ≈ 8,49.

Exempel 3: x² = 81

Vi vill hitta alla tal x som gånger sig självt blir 81.

  1. Vi söker först det positiva talet. √81 = 9, eftersom 9 · 9 = 81.

    x = 9

  2. Finns det fler? Minus gånger minus blir plus, så −9 passar också.

    (−9) · (−9) = 81

  3. Ekvationen har två lösningar.

    x = 9 eller x = −9

Vi sätter in båda i ekvationen: 9² = 81 och (−9)² = 81. Båda ger 81, så båda är lösningar.

Fallgropar

  • Att halvera i stället för att dra roten: √36 = 18.

    Roten frågar vilket tal gånger sig självt som ger 36. 6 · 6 = 36, så √36 = 6. Jämför: 18 · 18 = 324.

  • Att dela upp roten vid addition: √(9 + 16) = 3 + 4 = 7.

    Räkna först under rottecknet: √(9 + 16) = √25 = 5. Regeln √(a · b) = √a · √b gäller multiplikation.

  • Att glömma den negativa lösningen: x² = 49 ger x = 7.

    Även (−7) · (−7) = 49. Ekvationen har lösningarna x = 7 och x = −7. Det är √49 som alltid är 7.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Räkna ut √144.

  2. Vilket heltal ligger närmast √90?

  3. Räkna ut √(16 · 25).

  4. Lös ekvationen x² = 64.

Vanliga frågor

Kan man dra roten ur ett negativt tal?

Inte bland de reella talen, som vi räknar med i grundskolan och Matte 1. Inget sådant tal gånger sig självt blir negativt: 3 · 3 = 9 och (−3) · (−3) = 9.

Vad är roten ur 2?

√2 ≈ 1,414. Decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig inte i något mönster, så √2 kan inte skrivas exakt som ett bråk. Sådana tal kallas irrationella.

Vad är roten ur 0 och roten ur 1?

√0 = 0, eftersom 0 · 0 = 0. √1 = 1, eftersom 1 · 1 = 1. De är de enda talen som är lika med sin egen kvadratrot.

Vad är skillnaden mellan kvadratrot och kubikrot?

Kvadratroten söker två lika faktorer: √64 = 8, eftersom 8 · 8 = 64. Kubikroten söker tre lika faktorer: ³√64 = 4, eftersom 4 · 4 · 4 = 64.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig