somokai.

Ekvationssystem

Vi löser ett ekvationssystem genom att göra om två ekvationer till en med bara en obekant. Med substitution sätter vi in uttrycket för y i den andra ekvationen. Med addition adderar vi ekvationerna så att en obekant försvinner.

Åk 9 och gymnasiet · Uppdaterad

Se Fox räkna på tavlan

Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.

Lös din egen uppgift

Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.

Vad är ett ekvationssystem?

Två ekvationer med två obekanta som ska stämma samtidigt. x + y = 10 har många lösningar. Med x − y = 2 passar bara x = 6 och y = 4.

x + y = 10

x − y = 2

Två metoder

Vi vill få en ekvation med bara en obekant.

  • Substitution: lös ut y och sätt in uttrycket, inom parentes, i den andra ekvationen.
  • Addition: addera ekvationerna led för led så att en obekant tar ut sig, som +2y och −2y.
  • Multiplicera vid behov en hel ekvation, varje term på båda sidor, med ett tal.
  • Sätt in värdet du fick och räkna ut den andra obekanta.

Additionen är tillåten eftersom vi lägger till lika mycket på båda sidor.

Grafiskt: där linjerna skär

Varje ekvation är en rät linje. Lösningen är punkten där linjerna skär varandra. y = 2x − 1 och y = 14 − 3x skär i (3, 5).

LinjernaAntal lösningarVad händer när man räknar
skär varandraen lösningman får ett värde på x och ett på y
är parallellaingen lösningx och y försvinner och något falskt blir kvar, som 0 = 5
ligger på varandraoändligt mångax och y försvinner och något sant blir kvar, som 0 = 0

Exempel

Exempel 1: substitution, y = 2x − 1 och 3x + y = 14

Vi vill få en ekvation med bara x. Vi byter ut y mot 2x − 1.

  1. Vi sätter in 2x − 1, inom parentes, på y:s plats.

    3x + (2x − 1) = 14

  2. Plus framför parentesen ändrar inget. 3x + 2x = 5x.

    5x − 1 = 14

  3. Vi adderar 1 på båda sidor.

    5x = 15

  4. Vi delar båda sidor med 5.

    x = 3

  5. Vi sätter in x = 3 i y = 2x − 1.

    y = 2 · 3 − 1 = 5

Första: 2 · 3 − 1 = 5. Andra: 3 · 3 + 5 = 14. Båda stämmer, så x = 3 och y = 5.

Exempel 2: addition, 3x + 2y = 18 och 5x − 2y = 14

Vi vill få bort y. Med +2y och −2y blir summan noll y.

  1. Vi adderar vänster sida till vänster sida och höger till höger.

    3x + 2y + 5x − 2y = 18 + 14

  2. 3x + 5x = 8x och 2y − 2y = 0.

    8x = 32

  3. Vi delar båda sidor med 8.

    x = 4

  4. Vi sätter in x = 4 i den första ekvationen.

    12 + 2y = 18

  5. Vi subtraherar 12 från båda sidor och delar sedan med 2.

    2y = 6, alltså y = 3

Första: 3 · 4 + 2 · 3 = 18. Andra: 5 · 4 − 2 · 3 = 14. Båda stämmer, så x = 4 och y = 3.

Exempel 3: biobiljetter

2 vuxna och 3 barn kostar 520 kr. 1 vuxen och 1 barn kostar 220 kr. Vuxenpris x, barnpris y.

  1. Vi skriver varje mening som en ekvation.

    2x + 3y = 520 och x + y = 220

  2. Vi multiplicerar hela den andra ekvationen med 2, varje term på båda sidor.

    2x + 2y = 440

  3. Vi subtraherar den nya ekvationen från den första, led för led. 2x − 2x = 0 och 520 − 440 = 80.

    y = 80

  4. Vi sätter in y = 80 i x + y = 220 och subtraherar 80 på båda sidor.

    x = 220 − 80 = 140

2 · 140 + 3 · 80 = 520 kr och 140 + 80 = 220 kr. En vuxenbiljett kostar 140 kr och en barnbiljett 80 kr.

Fallgropar

  • Att sluta när x är klart och glömma att räkna ut y.

    Lösningen är ett par. Sätt in x för att få y, och svara x = … och y = ….

  • Att multiplicera bara en term, så att x + y = 220 gånger två blir 2x + y = 440.

    Varje term på båda sidor multipliceras: 2x + 2y = 440.

  • Att glömma parentesen: 3x − y = 4 med y = 2x − 1 blir 3x − 2x − 1 = 4.

    Skriv 3x − (2x − 1) = 4. Minus byter tecken på båda termerna: 3x − 2x + 1 = 4, alltså x = 3.

Öva själv

0 av 4 rätt

  1. Lös ekvationssystemet y = x + 3 och x + y = 11.

  2. Lös ekvationssystemet x + y = 9 och x − y = 3.

  3. Lös ekvationssystemet y = 3x − 2 och 2x + y = 13.

  4. Lös ekvationssystemet 3x + 2y = 16 och x + y = 6.

Vanliga frågor

Vilken metod ska jag välja?

Står x eller y redan ensam passar substitution. Har en obekant samma eller motsatta koefficienter passar addition. Båda ger samma svar.

Hur kontrollerar jag svaret?

Sätt in både x och y i båda ekvationerna. Lösningen ska stämma i båda samtidigt.

Hur skriver jag svaret?

Skriv båda värdena, till exempel x = 4 och y = 2. Som punkt blir det (4, 2), med x-värdet först.

Öva vidare med Somokai

Gratis att börja. Ledtrådar och förklaringar när du kör fast.

Börja öva gratis

Har du hittat ett fel? Hör av dig