Olikheter
Vi löser en olikhet som en ekvation: samma sak på båda sidor tills x står ensamt. Multiplicerar eller delar vi med ett negativt tal vänds tecknet. Svaret är alla tal som uppfyller villkoret, till exempel x < 4.
Se Fox räkna på tavlan
Fox räknar ett steg i taget. Tryck på play.
Lös din egen uppgift
Skriv uppgiften. Du får ett steg i taget.
Vad är en olikhet?
En olikhet säger att ena sidan är större eller mindre än den andra. Spetsen på tecknet pekar mot den mindre sidan.
| Tecken | Utläses | Exempel som stämmer |
|---|---|---|
| < | är mindre än | 2 < 5 |
| > | är större än | 5 > 2 |
| ≤ | är mindre än eller lika med | 4 ≤ 4 och 3 ≤ 4 |
| ≥ | är större än eller lika med | 4 ≥ 4 och 6 ≥ 4 |
x > 3 betyder alla tal större än 3. Med x ≥ 3 ingår även 3.
Varför tecknet vänds
Vi vill få x ensamt, precis som i en ekvation.
Att addera, subtrahera eller multiplicera med ett positivt tal ändrar inte ordningen. Men multiplicerar vi med −1 byter talen plats.
2 < 5, men −2 > −5
−2 grader är varmare än −5 grader. Därför vänder vi tecknet när vi multiplicerar eller delar med ett negativt tal.
Så kontrollerar vi svaret
- Ett tal som ska fungera: olikheten ska stämma.
- Ett tal som inte ska fungera: olikheten ska inte stämma.
- Gränsen själv: sidorna blir lika, och tecknet avgör om gränsen ingår.
Exempel
Exempel 1: 3x + 2 < 14
Vi vill få x ensamt, med samma steg som i en ekvation.
Vi subtraherar 2 från båda sidor. Tecknet står kvar.
3x + 2 − 2 < 14 − 2
Kvar blir 3x till vänster och 12 till höger.
3x < 12
Vi delar båda sidor med 3. Tre är positivt, så tecknet står kvar.
3x ÷ 3 < 12 ÷ 3
Nu är x ensamt. Alla tal mindre än 4 fungerar.
x < 4
x = 3 ger 11 < 14, som stämmer. x = 5 ger 17 < 14, som inte stämmer. x = 4 ger 14 < 14, så 4 ingår inte.
Exempel 2: 5 − 2x ≥ 11
Vi vill få x ensamt. Framför x står −2, så tecknet vänds när vi delar.
Vi subtraherar 5 från båda sidor. Det vänder inte tecknet.
5 − 2x − 5 ≥ 11 − 5
Kvar blir −2x till vänster och 6 till höger.
−2x ≥ 6
Vi delar båda sidor med −2. Talet är negativt, så ≥ vänds till ≤.
−2x ÷ (−2) ≤ 6 ÷ (−2)
Alla tal som är −3 eller mindre fungerar.
x ≤ −3
Annat sätt: addera 2x och subtrahera 11 på båda sidor. Då blir −6 ≥ 2x, alltså samma svar.
−3 ≥ x
x = −4 ger 13 ≥ 11, som stämmer. x = 0 ger 5 ≥ 11, som inte stämmer. x = −3 ger 11 ≥ 11, så −3 ingår.
Exempel 3: hur långt räcker pengarna?
Taxin kostar 40 kr plus 15 kr/km. Vi har 250 kr. Hur många kilometer, x, kan vi åka?
Resan kostar 40 + 15x kr och får kosta högst 250 kr.
40 + 15x ≤ 250
Vi subtraherar 40 från båda sidor.
15x ≤ 210
Vi delar båda sidor med 15. Talet är positivt, så tecknet står kvar.
x ≤ 14
14 km kostar 40 + 15 · 14 = 250 kr. 15 km kostar 265 kr. Vi kan åka högst 14 km.
Fallgropar
Att glömma vända tecknet vid division med ett negativt tal, så att −2x ≥ 6 blir x ≥ −3.
Fråga dig: delar jag med ett negativt tal? Då vänds tecknet. Pröva x = 0 i 5 − 2x ≥ 11: 5 ≥ 11 stämmer inte.
Att vända tecknet vid subtraktion, så att x + 5 < 2 blir x > −3.
Tecknet vänds bara vid multiplikation eller division med ett negativt tal. Rätt är x < −3.
Att svara med ett enda tal, som x = 4, eller blanda ihop < och ≤.
Svaret har samma sorts tecken som olikheten. Gränsen ingår med ≤ och ≥, men inte med < och >.
Öva själv
0 av 4 rätt1Lös olikheten x + 7 > 12.
2Lös olikheten 4x − 3 ≤ 25.
3Lös olikheten 6 − 3x < 18.
4Lös olikheten 2x + 9 ≥ 5x − 6.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan < och ≤?
Med x < 4 ingår inte 4. Med x ≤ 4, mindre än eller lika med, ingår 4.
Hur ritar jag svaret på en tallinje?
Rita en ring vid gränsen och en stråle åt det håll svaren finns. Ringen är fylld om gränsen ingår (≤, ≥) och ofylld annars (<, >).
Kan en olikhet sakna lösning?
Ja. x + 1 < x stämmer aldrig. Försvinner x och det som blir kvar är falskt saknar olikheten lösning.
Läs också
Har du hittat ett fel? Hör av dig