Relativitetsteori: tid, längd och energi

Ljusets fart är densamma för alla

Vi vill förstå de två antaganden som hela relativitetsteorin bygger på. År 1905 byggde Einstein den speciella relativitetsteorin på två postulat, alltså grundantaganden. Det första: fysikens lagar är desamma i alla system som rör sig med konstant hastighet. Det andra: ljusets fart i vakuum är c för alla observatörer. Det gäller hur fort ljuskällan eller observatören än rör sig. En boll som kastas framåt från ett tåg får tågets fart plus kastets fart. Ljuset från tågets strålkastare får det inte. Lorentzfaktorn på formelkortet anger hur mycket långsammare en rörlig klocka går, och den följer av de två postulaten.

Ljusklockan

En ljusklocka är två speglar med en ljuspuls som studsar mellan dem. Ett tick är en tur upp och ner. Med avståndet L mellan speglarna tar ett tick Δt₀ = 2L / c. Ljusklockan är ett tankeexperiment, men alla klockor måste gå i takt med den. Annars kunde man avgöra vilket system som verkligen står still. Det förbjuder det första postulatet.

Den rörliga klockan går långsamt

Tänk dig två likadana ljusklockor: A står still hos oss och B åker förbi med farten v. För oss går ljuset i B snett, i ett sicksackmönster. Den sneda vägen är längre än den raka i A. Ljuset har ändå farten c, så varje tick i B tar längre tid. Vi ser att B går långsammare: Δt = γ · Δt₀. Det kallas tidsdilatation.

Lorentzfaktorn γ

Titta på ett halvt tick i den rörliga klockan. Ljuset går snett, sträckan c · Δt/2. Samtidigt flyttar sig klockan v · Δt/2 åt sidan. Höjden är densamma som i klockan i vila: c · Δt₀/2. Pythagoras sats ger (c · Δt)² = (c · Δt₀)² + (v · Δt)². Löser man ut Δt får man Δt = γ · Δt₀ med γ = 1 / √(1 − v²/c²).

Egentid: vilken klocka är vilken?

Egentiden Δt₀ mäts av en klocka som är med vid båda händelserna. För den klockan sker händelserna på samma plats. En rymdresa har två händelser: avfärden från jorden och ankomsten till stjärnan. Klockan ombord är med vid båda, så den mäter egentiden. Jordens klockor mäter den längre tiden Δt = γ · Δt₀.

Myoner når marken

Myoner bildas när kosmisk strålning träffar luften, ofta 10–15 km upp. En myon har halveringstiden 1,5 µs i sitt eget system. På den tiden hinner ljuset bara 450 m. Men myonerna rör sig nästan med ljusets fart, och γ kan vara 10 eller mer. Från jorden sett lever de då γ gånger längre. Därför når många myoner marken, och det har mätts.

Längdkontraktion

I myonens eget system står myonen still och lever sin vanliga korta tid. I stället rusar marken mot den med farten v. Sträckan är då kortare: L = L₀ / γ. Egenlängden L₀ mäts där sträckan vilar, här i jordens system. Med γ = 10 blir 10 km bara 1,0 km. Bara längden i rörelseriktningen krymper. Båda systemen ger samma antal myoner vid marken.

Viloenergi och total energi

Enligt Einstein har en kropp energi redan genom sin massa: viloenergin E₀ = m · c². När kroppen rör sig är den totala energin E = γ · m · c². Totalenergin är viloenergin plus rörelseenergin. Eftersom c² är så stort motsvarar lite massa mycket energi. En elektron har viloenergin 0,511 MeV och en proton 938 MeV.

Rörelseenergi och fartgränsen

Rörelseenergin är totalenergin minus viloenergin: Eₖ = (γ − 1) · m · c². Vid låga farter ger den samma svar som m · v²/2. Nära ljusets fart växer γ utan gräns, och då även Eₖ. Det skulle krävas oändligt mycket energi för att nå c. Därför kan inget med massa nå ljusets fart, hur länge man än accelererar.

GPS behöver relativitetsteorin

GPS-satelliterna bär atomur och rör sig med ungefär 3,9 km/s. Farten gör att deras klockor går efter med 7,2 µs per dygn. Enligt den allmänna relativitetsteorin går klockor fortare där gravitationen är svagare. Satelliterna är ungefär 20 000 km upp, och det ger 45,7 µs före per dygn. Netto går de före med 38,5 µs per dygn. Klockorna ställs därför in att gå lite långsammare redan före uppskjutningen.

Sammanfattning

Den speciella relativitetsteorin bygger på två postulat. Fysikens lagar är desamma i alla system som rör sig med konstant hastighet. Ljusets fart i vakuum, c = 3,00 · 10⁸ m/s, är densamma för alla observatörer, hur ljuskällan och observatören än rör sig.

I en ljusklocka studsar en ljuspuls mellan två speglar. Sett från sidan går ljuset i en rörlig klocka en längre, sned väg med samma fart c. Därför tickar klockan långsammare: Δt = γ · Δt₀, där γ = 1 / √(1 − v²/c²). Egentiden Δt₀ mäts av en klocka som är med vid båda händelserna. Den är den kortaste tiden mellan händelserna.

Myoner bildas högt upp i atmosfären och har halveringstiden 1,5 µs i sitt eget system. Från jorden sett lever de γ gånger längre, så många når marken. I myonens system är sträckan i stället kortare: L = L₀ / γ. Båda beskrivningarna ger samma resultat.

En kropp med massan m har viloenergin E₀ = m · c². I rörelse är totalenergin E = γ · m · c² och rörelseenergin Eₖ = (γ − 1) · m · c². När v närmar sig c växer γ utan gräns. Därför kan inget med massa nå ljusets fart.

GPS-satelliternas klockor går efter med 7,2 µs per dygn på grund av farten. De går före med 45,7 µs per dygn eftersom gravitationen är svagare där uppe, enligt den allmänna relativitetsteorin. Netto går de före med 38,5 µs per dygn, och det korrigeras.

En myon rör sig med farten 0,995c, så γ = 1 / √(1 − 0,995²) ≈ 10. I sitt eget system lever den i genomsnitt 2,2 µs. Från jorden mäts livstiden Δt = γ · Δt₀ ≈ 10 · 2,2 µs = 22 µs. På den tiden hinner myonen 0,995 · 3,00 · 10⁸ m/s · 22 · 10⁻⁶ s ≈ 6,6 km.

Källor

1. 5.1 Invariance of Physical Laws (de två postulaten: samma fysiklagar i alla inertialsystem och samma ljusfart c), OpenStax University Physics Volume 3
2. 5.3 Time Dilation (ljusklockan, Δt = γ · Δt₀, egentid och myoner), OpenStax University Physics Volume 3
3. 5.4 Length Contraction (L = L₀ / γ, bara i rörelseriktningen), OpenStax University Physics Volume 3
4. 5.9 Relativistic Energy (E = γ · m · c², Eₖ = (γ − 1) · m · c², inget med massa når c), OpenStax University Physics Volume 3
5. Speciella relativitetsteorin (Einsteins teori från 1905, byggd på att ljusets fart är densamma för alla observatörer), Nationalencyklopedin
6. Tidsdilatation (klockor som rör sig går långsammare, sett av en observatör i vila), Nationalencyklopedin
7. Myon (instabil partikel som bildas av kosmisk strålning i atmosfären), Nationalencyklopedin
8. Relativity in the Global Positioning System (satellitklockorna går cirka 7 µs efter av farten och cirka 46 µs före av den svagare gravitationen per dygn), Living Reviews in Relativity (Neil Ashby)
9. Meter (sedan 1983 definieras metern med ljusets fart, exakt 299 792 458 m/s), NIST
10. The Large Hadron Collider (protonerna accelereras till 6,8 TeV, mycket nära ljusets fart), CERN
11. Tidsdilatation (både fart och gravitation påverkar hur fort klockor går), Wikipedia på svenska
12. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket