Laddningar i elektriska och magnetiska fält

Elektronen mellan plattorna

Vi vill räkna ut hur en elektron accelererar när den kommer in mellan två laddade plattor. Mellan plattorna är fältet homogent: lika starkt och lika riktat överallt. Fältstyrkan är spänningen delad med avståndet, E = U / d. Elektronen påverkas av kraften F = Q · E, riktad mot den positiva plattan. Kraften är lika stor överallt mellan plattorna. Därför blir accelerationen konstant: den räknas ut som kraften delad med massan, a = Q · E / m. Elektronens massa är så liten att accelerationen blir enorm. Tyngdkraften kan du bortse från.

Banan blir en kastparabel

Elektronen kommer in vågrätt med farten v₀. I vågrät led verkar ingen kraft, så den vågräta farten är konstant. Tiden mellan plattorna blir därför t = l / v₀, där l är plattornas längd. I lodrät led accelererar elektronen från vila, som vid fritt fall. Avböjningen blir y = a · t² / 2. Banan är en parabel, precis som ett vågrätt kast.

Magnetfältet runt en rak ledare

En elektrisk ström skapar ett magnetfält runt ledaren. Fältlinjerna är cirklar med ledaren i mitten. Riktningen ges av högerhandsregeln: håll tummen i strömmens riktning, så visar fingrarna fältets riktning. Fältet avtar med avståndet: B = μ₀ · I / (2π · r). Konstanten μ₀ = 4π · 10⁻⁷ T·m/A kallas den magnetiska konstanten. Enheten för magnetisk flödestäthet är tesla, T.

Stavmagnet och spole

En magnet har en nordpol och en sydpol. Utanför magneten går fältlinjerna från nordpolen till sydpolen. En strömförande spole har ett fält som liknar stavmagnetens. Inuti en lång spole är fältet nästan homogent: B = μ₀ · N · I / l. Här är N antalet varv och l spolens längd. Låt fingrarna på höger hand följa strömmen i varven, så pekar tummen mot spolens nordpol.

Kraft på en strömförande ledare

En ledare med ström i ett magnetfält påverkas av en kraft. Om ledaren är vinkelrät mot fältet är kraften F = B · I · l. Här är l längden av ledaren inne i fältet. Kraften är vinkelrät både mot strömmen och mot fältet. Håll höger hand med fingrarna i fältets riktning och tummen i strömmens, så trycker handflatan åt kraftens håll. Vänder du strömmen eller fältet byter kraften riktning. Det är den här kraften som driver en elmotor.

Kraft på en laddning i rörelse

Strömmen i en ledare är laddningar i rörelse. Därför påverkas också en ensam laddning som rör sig i ett magnetfält. Om farten är vinkelrät mot fältet är kraften F = Q · v · B. Kraften är alltid vinkelrät mot hastigheten. Den ändrar därför rörelsens riktning men aldrig farten. Riktningen ges av samma högerhandsregel som för ledaren, men för en negativ laddning är kraften motsatt riktad. En laddning som står still påverkas inte av magnetfältet.

Cirkelbanan

En kraft som alltid är vinkelrät mot farten ger en cirkelrörelse. Den magnetiska kraften är centripetalkraften: Q · v · B = m · v² / r. Löser du ut radien får du r = m · v / (Q · B). Snabbare och tyngre partiklar går i större cirklar. Ett starkare fält böjer banan mer. Tiden för ett varv är T = 2π · m / (Q · B).

Masspektrometern

En masspektrometer sorterar joner efter massa. Jonerna accelereras först genom spänningen U och får rörelseenergin Q · U. Sedan går de in i ett magnetfält och böjs av i en halvcirkel. Radien r = m · v / (Q · B) blir större för tyngre joner. Jonerna träffar därför detektorn på olika ställen. Så kan man skilja isotoper av samma grundämne åt.

Cyklotronen

En cyklotron accelererar protoner eller andra joner i en spiral. Två D-formade elektroder sitter i ett homogent magnetfält. Varje gång jonen passerar glipan mellan dem får den energi av en växelspänning. Radien växer med farten, men tiden för ett halvt varv är densamma. Därför kan spänningen byta tecken i jämn takt, med frekvensen f = Q · B / (2π · m). Sjukhus använder cyklotroner för att tillverka radioaktiva ämnen till PET-undersökningar.

Norrsken

Jordens magnetfält liknar fältet från en stavmagnet. Laddade partiklar i rymden får energi från solvinden. Den del av farten som är vinkelrät mot fältet ger en cirkelrörelse. Delen längs fältet påverkas inte, så partikeln går i en spiral runt fältlinjen. Fältlinjerna leder partiklarna ner mot atmosfären nära polerna. Där krockar de med atomer och molekyler från ungefär 100 km höjd och uppåt, och atomerna sänder då ut ljus.

Sammanfattning

En laddning som skjuts in vinkelrätt mot ett homogent elektriskt fält har konstant fart längs plattorna och konstant acceleration a = Q · E / m tvärs dem. Tiden i fältet är t = l / v₀, och avböjningen blir y = a · t² / 2. Banan är en parabel, som ett vågrätt kast.

En ström skapar ett magnetfält. Runt en rak ledare är fältlinjerna cirklar och B = μ₀ · I / (2π · r), med riktningen från högerhandsregeln. Inuti en lång spole är fältet nästan homogent, B = μ₀ · N · I / l, och utanför liknar det en stavmagnets fält.

En ledare med strömmen I i ett magnetfält påverkas av kraften F = B · I · l, om den är vinkelrät mot fältet. En ensam laddning som rör sig vinkelrätt mot fältet påverkas av F = Q · v · B. Kraften är vinkelrät mot hastigheten, så den ändrar riktningen men inte farten.

Magnetkraften blir centripetalkraft, och banan blir en cirkel med radien r = m · v / (Q · B). Tiden för ett varv, T = 2π · m / (Q · B), beror inte på farten. Det utnyttjar cyklotronen, och masspektrometern sorterar joner efter massa med samma formel.

En laddning som rör sig snett mot fältet går i en spiral runt fältlinjen. Jordens magnetfält leder på så sätt laddade partiklar ner mot polerna, där de får atmosfären att lysa som norrsken.

En elektron med farten 1,5 · 10⁷ m/s går vinkelrätt mot ett magnetfält på 1,5 mT. Radien blir r = m · v / (Q · B) = 9,11 · 10⁻³¹ · 1,5 · 10⁷ / (1,602 · 10⁻¹⁹ · 1,5 · 10⁻³) ≈ 0,057 m = 5,7 cm.

Källor

1. 22.3 Magnetic Fields and Magnetic Field Lines (fältlinjer från nordpol till sydpol utanför magneten), OpenStax College Physics 2e
2. 22.4 Magnetic Field Strength (F = Q · v · B och enheten tesla), OpenStax College Physics 2e
3. 22.5 Force on a Moving Charge: Examples and Applications (r = m · v / (Q · B), spiral längs fältlinjer och norrsken), OpenStax College Physics 2e
4. 22.7 Magnetic Force on a Current-Carrying Conductor (F = B · I · l), OpenStax College Physics 2e
5. 22.9 Magnetic Fields Produced by Currents (B = μ₀ · I / (2π · r), fältet i en spole och högerhandsregeln), OpenStax College Physics 2e
6. 22.11 More Applications of Magnetism (masspektrometer, hastighetsfilter och katodstrålerör), OpenStax College Physics 2e
7. 11.7 Applications of Magnetic Forces and Fields (cyklotronens frekvens beror inte på farten), OpenStax University Physics Volume 2
8. 4.3 Projectile Motion (konstant fart i en led och konstant acceleration i den andra ger en parabel), OpenStax University Physics Volume 1
9. Magnetfält (fält kring magneter och elektriska strömmar), Nationalencyklopedin
10. Lorentzkraft (kraften på en laddning som rör sig i ett magnetfält), Nationalencyklopedin
11. Solenoid (en lång spole har ett nästan homogent fält inuti), Nationalencyklopedin
12. Masspektrometer (joner sorteras efter massa och laddning), Nationalencyklopedin
13. Cyklotron (joner accelereras i en spiral i ett magnetfält), Nationalencyklopedin
14. Norrsken (ljus från atmosfären när laddade partiklar krockar med luftens atomer), Nationalencyklopedin
15. Norrsken (partiklarna styrs mot polerna av jordens magnetfält, solvinden har farten kring 400 km/s, ljuset uppstår på ungefär 100 km höjd), Institutet för rymdfysik
16. The Earth’s magnetic field: an overview (fältets styrka vid jordytan är 22 000–67 000 nT), British Geological Survey
17. Francis W. Aston – Facts (Nobelpriset i kemi 1922 för isotoper upptäckta med masspektrografen), Nobelprize.org
18. Lorentzkraft, Wikipedia på svenska
19. Cyklotron, Wikipedia på svenska
20. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket