Laddade partiklar i elektriska fält

Ett homogent fält mellan två plattor

Vi vill förstå hur ett elektriskt fält ser ut mellan två plattor och kunna räkna ut hur starkt det är. Två parallella metallplattor kopplas till en spänningskälla. Den ena plattan blir positiv och den andra negativ. Mellan dem uppstår ett elektriskt fält som är lika starkt och lika riktat överallt. Ett sådant fält kallas homogent. Den elektriska fältstyrkan anger hur stor kraft fältet ger varje coulomb laddning. Fältstyrkan är spänningen delad med avståndet: E = U / d. Dra i reglagen och se fältlinjerna bli tätare när fältet blir starkare.

Kraften på en laddning: F = Q · E

En laddning i ett elektriskt fält påverkas av en kraft. Kraften är laddningen gånger fältstyrkan: F = Q · E. Fältet pekar från den positiva plattan mot den negativa. En positiv laddning knuffas i fältets riktning. En negativ laddning, som elektronen, dras åt motsatt håll. I ett homogent fält är kraften lika stor var partikeln än befinner sig.

Accelerationen: a = F / m

Kraften på partikeln är konstant, så accelerationen blir också konstant. Newtons andra lag ger a = F / m. En elektron har massan 9,11 · 10⁻³¹ kg, så accelerationen blir enorm. Prickarna visar var elektronen var vid lika långa tidssteg. Avståndet mellan prickarna växer, precis som vid fritt fall. Tyngdkraften på elektronen är så liten att vi bortser från den.

Energin från fältet: W = Q · U

När fältet flyttar en laddning uträttar det ett arbete. Arbetet är kraft gånger sträcka: W = F · d = Q · E · d. Eftersom E · d = U blir arbetet W = Q · U. Från vila blir hela arbetet rörelseenergi, så energibalken fylls på vägen över. Energin beror bara på laddningen och spänningen, inte på avståndet mellan plattorna.

Elektronvolt: energi för en partikel

Joule är en stor enhet för en enda partikel. Därför används ofta elektronvolt, eV. En elektronvolt är energin en elementarladdning får genom spänningen 1 V. 1 eV = 1,602 · 10⁻¹⁹ J. En partikel med laddningen e som passerar U volt får alltså U elektronvolt. En alfapartikel har laddningen 2e och får dubbelt så många.

Farten efter accelerationen

Rörelseenergin ger farten: Eₖ = m · v² / 2. Löser vi ut farten får vi v = √(2 · Eₖ / m). Energin måste då vara i joule och massan i kilogram. Fyra gånger högre spänning ger fyra gånger mer energi, men bara dubbelt så hög fart. Pröva med reglaget och jämför farterna.

Inbromsning: fältet tar energi

Om partikeln rör sig mot kraften bromsas den i stället. Fältet tar då energin Q · U från partikeln. Här kommer en elektron med 300 eV in genom ett hål i den positiva plattan. Den dras tillbaka mot hålet och saktar in. Är spänningen större än 300 V vänder elektronen innan den når den andra plattan. Dra i reglaget och hitta gränsen.

Jämvikt: den svävande oljedroppen

Små oljedroppar kan få en elektrisk laddning när de sprutas ut. Mellan vågräta plattor verkar tyngdkraften nedåt och den elektriska kraften uppåt. När Q · E = m · g tar krafterna ut varandra, och droppen svävar. Luftmotståndet gör att droppen annars rör sig med nästan jämn fart. Hitta spänningen där droppen står still.

Röntgenrör och acceleratorer

I ett röntgenrör accelereras elektroner från en glödande katod mot en anod av metall. Spänningen är ofta några tiotals kilovolt. När elektronerna bromsas i anoden bildas röntgenstrålning. En foton kan högst få hela elektronens energi, alltså e · U. Partikelacceleratorer bygger på samma idé, men upprepar accelerationen många gånger.

Sammanfattning

Mellan två parallella plattor med spänningen U och avståndet d är fältet homogent: E = U / d, med enheten V/m. En laddning Q i fältet påverkas av kraften F = Q · E. En positiv laddning dras mot den negativa plattan, en negativ mot den positiva.

Kraften är konstant, så partikeln får en konstant acceleration a = F / m. För elektroner och protoner är tyngdkraften försumbar jämfört med den elektriska kraften. Från vila blir rörelsen likformigt accelererad längs fältlinjerna.

När en laddning rör sig genom spänningen U uträttar fältet arbetet W = Q · U. Från vila blir rörelseenergin Eₖ = Q · U, oberoende av avståndet mellan plattorna. En elektronvolt, 1 eV = 1,602 · 10⁻¹⁹ J, är energin en elementarladdning får genom 1 V.

Farten fås ur Eₖ = m · v² / 2. En oljedroppe kan sväva mellan vågräta plattor när den elektriska kraften uppåt är lika stor som tyngdkraften: Q · E = m · g. Det är grundidén i Millikans försök, som bestämde elementarladdningen.

En elektron accelereras från vila genom 100 V. Den får 100 eV = 1,602 · 10⁻¹⁷ J. Farten blir v = √(2 · 1,602 · 10⁻¹⁷ / 9,11 · 10⁻³¹) ≈ 5,93 · 10⁶ m/s.

Källor

1. 18.4 Electric Field: Concept of a Field Revisited (F = q · E, fältet pekar från + till −), OpenStax College Physics 2e
2. 19.2 Electric Potential in a Uniform Electric Field (E = U / d mellan parallella plattor), OpenStax College Physics 2e
3. 19.1 Electric Potential Energy: Potential Difference (W = q · U och elektronvolten), OpenStax College Physics 2e
4. 30.2 Discovery of the Parts of the Atom (Millikans oljedroppar ger elementarladdningen), OpenStax College Physics 2e
5. Elektrisk fältstyrka (kraften per laddning i ett elektriskt fält), Nationalencyklopedin
6. Elektronvolt (energienhet, 1 eV ≈ 1,602 · 10⁻¹⁹ J), Nationalencyklopedin
7. Millikans försök (laddade oljedroppar i ett elektriskt fält), Nationalencyklopedin
8. Röntgenrör (elektroner accelereras mot en anod och bromsas där), Nationalencyklopedin
9. Elementary charge (e = 1,602 176 634 · 10⁻¹⁹ C, ett exakt värde), NIST
10. Electron mass (mₑ ≈ 9,109 · 10⁻³¹ kg), NIST
11. The Large Hadron Collider (protoner på 6,8 TeV, åtta kaviteter på 2 MV per stråle), CERN
12. The Nobel Prize in Physics 1923: Robert A. Millikan (priset gällde bland annat elementarladdningen), Nobelprize.org
13. Millikans oljedroppsexperiment, Wikipedia på svenska
14. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket