Likformigt accelererad rörelse och fritt fall

Hastigheten ändras lika mycket varje sekund

Vi vill kunna säga hur fort en bil kör efter en viss tid när den accelererar jämnt. Likformigt accelererad rörelse betyder att accelerationen är konstant. Hastigheten anger hur fort bilen rör sig vid en viss tid, och här ändras den lika mycket varje sekund. Efter tiden t har hastigheten ändrats med a · t. Starthastigheten kallas v₀. Därför gäller v = v₀ + a · t. Se hur hastighetspilen växer jämnt medan bilen kör.

v–t-grafen blir en rät linje

Formeln v = v₀ + a · t har samma form som y = k · x + m. I en v–t-graf blir den därför en rät linje. Linjen skär v-axeln i v₀, hastigheten när t = 0. Lutningen är accelerationen a. Efter tiden t har linjen stigit a · t från v₀.

Från vila: arean är en triangel

Arean under en v–t-graf är förflyttningen. Startar föremålet från vila är v₀ = 0 och arean blir en triangel. Basen är tiden t och höjden är farten a · t. Triangelns area är bas gånger höjd delat med två. Det ger s = a · t² / 2.

Med starthastighet: s = v₀ · t + a · t² / 2

Har föremålet en starthastighet blir arean ett parallelltrapets. Den kan delas i en rektangel och en triangel. Rektangeln är v₀ · t och triangeln är a · t² / 2. Tillsammans ger de s = v₀ · t + a · t² / 2. Samma area är medelhastigheten (v₀ + v) / 2 gånger tiden.

Den tidlösa formeln: v² − v₀² = 2 · a · s

Ibland känner du inte tiden. Få först t ensamt i v = v₀ + a · t. Subtrahera v₀ från båda leden: v − v₀ = a · t. Dividera båda leden med a: t = (v − v₀) / a. Sätt in det i sträckformeln. Då försvinner tiden och kvar blir v² − v₀² = 2 · a · s. Formeln passar för bromssträckor och startsträckor. Vid inbromsning är a negativ, och då blir även v² − v₀² negativ.

Fritt fall: a = g = 9,82 m/s²

Ett föremål som bara påverkas av tyngdkraften faller fritt. Nära jordytan är accelerationen då g ≈ 9,82 m/s², riktad nedåt. Den är lika stor för tunga och lätta föremål. Fritt fall från vila är ett specialfall av sträckformeln, med v₀ = 0 och a = g. Prickarna visar att bollen faller allt längre för varje tidsintervall.

Kast rakt uppåt: välj en positiv riktning

Vid kast rakt uppåt väljer vi uppåt som positiv riktning. Då är v₀ positiv och accelerationen a = −9,82 m/s² hela tiden. På väg upp minskar farten, och i den högsta punkten är v = 0. Accelerationen är fortfarande −9,82 m/s² där. På väg ned blir v negativ, och formeln v = v₀ + a · t gäller hela tiden. Prova olika utgångsfarter med reglaget.

Kastets v–t-graf

I v–t-grafen för ett kast uppåt är hastigheten först positiv. Den minskar i jämn takt och går genom noll i den högsta punkten. Sedan blir den negativ: bollen faller nedåt. Hela grafen är en rät linje med lutningen −9,82 m/s². Uppfärden och nedfärden tar lika lång tid, om luftmotståndet är litet.

Luftmotståndet: modellens gräns

Modellen fritt fall räknar bara med tyngdkraften. I verkligheten bromsar luften, och luftmotståndet växer snabbt med farten. Till slut är luftmotståndet lika stort som tyngdkraften. Då slutar farten öka: föremålet har nått sin gränshastighet. Modellen fungerar bäst för tunga, kompakta föremål och korta fall.

Sammanfattning

Vid likformigt accelererad rörelse ändras hastigheten lika mycket varje sekund. Då gäller v = v₀ + a · t, och v–t-grafen är en rät linje. Linjen skär v-axeln i v₀ och lutningen är a.

Arean under v–t-grafen är förflyttningen. Den består av en rektangel v₀ · t och en triangel a · t² / 2, alltså s = v₀ · t + a · t² / 2. Vi vill få t ensamt i v = v₀ + a · t. Subtrahera v₀ från båda leden: v − v₀ = a · t. Dividera sedan båda leden med a: t = (v − v₀) / a. Sätter man in det i sträckformeln får man den tidlösa formeln v² − v₀² = 2 · a · s.

Nära jordytan faller alla föremål med accelerationen g = 9,82 m/s², om luftmotståndet är litet. Vid kast rakt uppåt väljer man ofta uppåt som positiv riktning. Då är a = −9,82 m/s² hela tiden, även i den högsta punkten där v = 0.

Luftmotståndet växer med farten. Till slut blir det lika stort som tyngdkraften, och farten slutar öka. Det sker tidigast för lätta föremål med stor yta. Modellen fritt fall fungerar bäst för kompakta, tunga föremål och korta fall.

En sten kastas rakt uppåt med 12 m/s. Uppåt är positivt, så a = −9,82 m/s². I högsta punkten är v = 0: 0 − 12² = 2 · (−9,82) · s ger s = 144 / 19,64 ≈ 7,3 m.

Källor

1. 2.5 Motion Equations for Constant Acceleration in One Dimension (v = v₀ + a·t, sträckformeln och den tidlösa formeln), OpenStax College Physics 2e
2. 2.7 Falling Objects (fritt fall med samma acceleration för alla kroppar, kast uppåt med tecken), OpenStax College Physics 2e
3. 5.2 Drag Forces (luftmotståndet växer med farten och ger en gränshastighet), OpenStax College Physics 2e
4. The Apollo 15 Hammer-Feather Drop (hammare och fjäder faller lika snabbt på månen utan luft), NASA
5. Fritt fall (rörelse där bara tyngdkraften verkar), Nationalencyklopedin
6. Tyngdacceleration (g varierar något med latitud och höjd), Nationalencyklopedin
7. Luftmotstånd (kraft från luften mot en rörelse, ökar med farten), Nationalencyklopedin
8. Standard acceleration of gravity (normalvärdet för g är 9,806 65 m/s²), NIST
9. Fritt fall, Wikipedia på svenska
10. Ämnesplan i fysik, Gy25, Skolverket